Question

Encontre o ponto P(x,y,z) mais próximo à origem no plano: 2x + y - z - 5 = 0.

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o ponto "P" procurado é:

              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf P\bigg(\frac{5}{3},\frac{5}{6},-\frac{5}{6}\bigg)\:\:\:}}\end{gathered} }$

Obtendo o ponto "P" pertencente ao plano "π", cuja distância à origem é menor possível.

Sejam os dados:

                 $\Large\begin{cases} r: 2x + y - z - 5 = 0\\O = (0, 0, 0)\\P = \:?\end{cases}$

Para resolver esta questão irei utilizar o método chamada de "Multiplicadores de Lagrange". Este método  consiste em obter máximos e mínimos condicionados. Para implementar este método devemos designar a função objetivo e a função condicionante e, em seguida, afirmar que o vetor gradiente da função objetivo é paralelo ao vetor gradiente da função condicionante. Para isso, fazemos:

• Determinar a função objetivo. Esta função se refere à mínima distância entre os pontos "O" e "P" que podemos deduzi-la da seguinte forma:

                  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} d_{OP} = \sqrt{(\Delta x)^{2} + (\Delta y)^{2}+ (\Delta z)^{2}}\end{gathered} }$

                 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} d_{OP}^{2} = (\sqrt[\!\diagup\!\!]{(\Delta x)^{2} + (\Delta y)^{2} + (\Delta z)^{2}})^{\!\diagup\!\!\!\!2}\end{gathered} }$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} d_{OP}^{2} = (\Delta x)^{2} + (\Delta y)^{2} + (\Delta z)^{2}\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} d_{OP}^{2} = (x_{P} - x_{O})^{2} + (y_{P} - y_{O})^{2} + (z_{P} - z_{O})^{2}\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} d_{OP}^{2} = (x - 0)^{2} + (y - 0)^{2} + (z - 0)^{2}\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} d_{OP}^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2}\end{gathered}$

        Então:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} F(x, y, z) = d_{OP}^{2} = x^{2} + y^{2}+ z^{2}\end{gathered}$            

• Determinar a função condicionante. Uma vez que o ponto "P" pertence ao plano, então a tal reta é o vínculo. Então temos:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} g(x, y,z) = 2x + y - z - 5 = 0\end{gathered}$

• Aplicando os multiplicadores de Lagrange.

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla}F(x, y, z) = \lambda\vec{\nabla}g(x, y,z)\end{gathered}$      

       $\displaystyle\begin{gathered} \langle F_{x}(x, y,z),\,F_{y}(x, y,z),F_{z}(x, y, z)\rangle = \lambda\langle g_{x}(x, y,z),\,g_{y}(x, y,z),g_{z}(x, y, z)\rangle\end{gathered}$  

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} (2x,2y,2z) = \lambda(2,1, -1)\end{gathered}$        

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} (2x, 2y,2z) = (2\lambda, \lambda,-\lambda)\end{gathered}$    

      Então:

                                           $\Large\begin{cases} 2x = 2\lambda\\2y = \lambda\\2z = -\lambda\end{cases}$      

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$           $\LARGE\begin{cases} x = \lambda\\y = \frac{\lambda}{2}\\z = - \frac{\lambda}{2}\end{cases}$        

• Calcular o valor de "λ". Para isso, devemos inserir os valores de "x", "y" e "z" na função condicionante. Então temos:      

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2\lambda + \frac{\lambda}{2} - \bigg(-\frac{\lambda}{2}\bigg) = 5\end{gathered}$

                                                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} 6\lambda = 10\end{gathered}$

                                                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \lambda = \frac{5}{3}\end{gathered}$          

• Obter o ponto "P". Para isso, basta inserir o valor de "λ" no sistema "I". Então temos:    

               $\LARGE\begin{cases} x = \frac{5}{3}\\y = \frac{5}{3}\cdot\frac{1}{2} = \frac{5}{6}\\z = \frac{5}{3}\cdot\bigg(-\dfrac{1}{2}\bigg)= -\frac{5}{6}\end{cases}$      

✅ Portanto, o ponto "P" é:

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} P \bigg(\frac{5}{3},\,\frac{5}{6},-\frac{5}{6}\bigg)\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

Saiba mais:

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$