Question

encontre a derivação da função​

Answer 1

Temos a seguinte função:

$f(x) = \sin {}^{3} (3x {}^{2} + 6x)$

Essa derivação é bem legal, pois aborda várias técnicas de derivação. Primeiro vamos lembrar que o seno elevado a uma potência pode ser reescrito da seguinte maneira:

$\boxed{ \sin {}^{n} (z) = ( \sin(z)) {}^{n} }$

Aplicando essa propriedade, temos que:

$f(x) = (\sin(3x {}^{2} + 6x)) {}^{3}$

Agora é só aplicar a regra da cadeia, então vamos dizer que:

$f(x) = (u) {}^{3},\: \: u(x ) = \sin(p) \: \: e \: \: p(x) = 3x {}^{2} + 6x$

A relação da regra da cadeia no nosso caso, será dada pela seguinte expressão:

$\frac{df(x)}{dx} = \frac{df(x)}{du} . \frac{du(x)}{dp} . \frac{dp(x)}{dx}$

Substituindo cada função no seu devido local:

$\frac{df(x)}{dx} = \frac{d}{du} u {}^{3} . \frac{d}{dp} \sin(p). \frac{d}{dx} (3x {}^{2} + 6x) \\ \\ \frac{df(x)}{dx} = 3u {}^{2}. \cos(p).(6x + 6)$

Realocando as funções no seu respectivo local:

$\boxed{\frac{df(x)}{dx} = 3.( \sin(3x {}^{2} + 6x)) {}^{2} . \cos(3x {}^{2} + 6x).(6x + 6) }$

Espero ter ajudado