Question

(UFRRJ - adaptada) Um eucalipto de 16 m de altura ergue-se verticalmente sobre um terreno horizontal. Durante uma tempestade, seu tronco é quebrado em um ponto, mas ainda permanece parcialmente preso ao restante da árvore; a ponta da parte quebrada toca o solo a uma distância de 4 m de sua base. Pode-se afirmar que o eucalipto foi quebrado a uma altura de:
a)8,5m
b)6,0m
c)9,0m
d)6,5m
e)7,5m

Answer 1

Boa noite!

A resposta certa é a letra (e).

Como a árvore se quebrou numa distância desconhecida e formou um triângulo retângulo (já que o plano é horizontal), então temos um triângulo formado por um cateto 4m, uma hipotenusa de Ym e outro cateto de Xm, como mostra a figura em anexo. 
Porém, sabemos que Y + X = 16, e podemos usar disso para resolver o problema.
Como X = 16-Y, e sabendo do Teorema de Pitágoras para o cálculo da hipotenusa, obtemos:

$Y^{2}=X^{2}+4^{2}$, mas X = 16-Y

$Y^{2}=(16-Y)^{2}+4^{2}$

Expandindo o produto notável:

$Y^{2}=Y^{2}-2.16.Y+16^{2}+4^{2}$

Podemos "cortar" (somar em ambos os lados da igualdade $-Y^{2}$) e rearranjar os termos:

$-4^{2}-16^{2}=-32Y$

Multiplicando por (-1) em ambos os lados para tornar a igualdade positiva, elevando os termos ao quadrado e isolando Y, obtemos

$Y=8.5$

Porém, queremo saber a distância "X",que indica onde a árvore quebrou. Para isso, usaremos novamente aquela relação vista no início:

$X + Y = 16 \\ X+8.5=16 \\ X=7.5$

Abraço!