Question

os valores reais de x que satisfazem a inequação
$\sqrt{x} + \sqrt{ \frac{1}{x} } \leqslant 2$
são:
a)-1≤x≤1;
b) x=1
c) x≤1;
d) x≥1​

Answer 1

Resposta:

b)

Explicação passo-a-passo:

Considerando que estamos trabalhando com números reais, o fato de $x$ ser o radicando de uma raiz quadrada e ele ser o denominador de uma divisão implica que $x>0$.

Podemos então dizer que $\sqrt{x}+\sqrt{1/x}>0$ logo podemos elevar ambos os lados da inequação ao quadrado da seguinte forma:

$\left(\sqrt{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}\right)^2\leq(2)^2$

$(\sqrt{x})^2+\left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)^2+2\cdot\sqrt{x}\cdot\sqrt{\frac{1}{x}}\leq 4$

$x+\frac{1}{x}+2\cdot\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}}\leq 4$

$x+\frac{1}{x}+2\cdot\sqrt{1}\leq 4$

$x+\frac{1}{x}+2\leq 4$

$x+\frac{1}{x}\leq 2$

Lembrando que $x>0$, podemos multiplicar ambos os lados da inequação por $x$, ficando com:

$x^2+1\leq 2x$

$x^2-2x+1\leq 0$

Aplicando a fórmula de Bhaskara na equação $x^2-2x+1=0$:

$x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot1}}{2}$

$x=\frac{2\pm\sqrt{4-4}}{2}$

$x=\frac{2\pm\sqrt{0}}{2}$

$x=\frac{2}{2}=1$

Como a parábola do polinômio $x^2-2x+1$ têm concavidade voltada para cima e possui raízes idênticas, não existem valores de $x$ tais que $x^2-2x+1<0$. Concluímos então que a única solução é $x=1$.