Question

10) A solução do sistema de equações abaixo é:
x + y = 12
2x + 3y=27
a) (1,3)
b) (3,1)
c) (3,9)
d) (9,3)


pfvr me ajude preciso entregar ainda hoje.​

Answer 1

Regra de Cramer:

• Determinante das Variáveis:

$\boxed{\begin{array}{lr} \\ \large \sf \:\begin{bmatrix} \large \sf 1& \large \sf 1 \\ \large \sf 2&\large \sf3\\ \end{bmatrix} = 3 - 2 = \boxed{ \red{\large \sf \: 1}} \\ \: \end{array}}$

• Determinante Do x:

$\boxed{\begin{array}{lr} \\ \large \sf \:\begin{bmatrix} \large \sf 12& \large \sf 1 \\ \large \sf 27&\large \sf3\\ \end{bmatrix} = 36 - 27 = \boxed{ \red{\large \sf \: 9}} \\ \:\end{array}}$

• Determinante do y:

$\boxed{\begin{array}{lr} \\ \large \sf \:\begin{bmatrix}\large \sf 1& \large \sf 12 \\ \large \sf 2&\large \sf27\\ \end{bmatrix} = 27- 24= \boxed{ \red{\large \sf \: 3}} \\ \:\end{array}}$

• Divisão dos Determinantes:

$\large \boxed{ \large \sf \: x = \dfrac{D_{x}}{D} = \dfrac{9}{1} = \boxed{ \large \sf \red9}} \\ \\ \large\boxed{ \large \sf \: y= \dfrac{D_{y}}{D} = \dfrac{3}{1} = \boxed{ \large \sf \red3}}$

➡️ Resposta:

• Letra D) (9,3)

Answer 2

Olá, boa noite!

Para resolucionarmos o sistema de equações acima, devemos primeiramente escrever o sistema de equações como uma matriz AX = B, onde A é a matriz coeficiente, X é a matriz variável e B a matriz constante.

$\Bigg \{ \begin{matrix}\sf x + y = 12, & \\\sf 2x + 3y = 27 \end{matrix} \\ \\ \\ \begin{bmatrix}\sf 1 & &\sf 1\\& & \\\sf 2 & &\sf 3 \\ \end{bmatrix} \cdot\begin{bmatrix}\sf x \\ \\ \sf y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sf 12\\ \\ \sf 27\\ \end{bmatrix}$

Agora iremos identificar o coeficiente A.

$\sf A = \begin{bmatrix} \sf 1 & & \sf 1 \\ & & \\ \sf 2 & & \sf 3\\ \end{bmatrix}$

Logo então encontraremos o determinante da matriz utilizando a notação apropriada.

$\sf |A| = \begin{vmatrix}\sf 1 & \sf 1 \\ \sf 2&\sf 3 \\ \end{vmatrix}$

Iremos utilizar a fórmula $\begin{vmatrix} \sf \red w &\sf \blue x \\ \sf \blue y &\sf \red z \\ \end{vmatrix} = \sf \red{wz} - \blue{xy}$.

$\sf |A| = \begin{vmatrix} \sf \red1 & \sf \blue1 \\\sf \blue2 & \sf \red3 \\ \end{vmatrix} \\ \\ \\ \sf |A| = 1 \cdot3 - 1 \cdot2 \\ \\ \\ \sf |A| = 3 - 1 \cdot2 \\ \\ \\ \sf |A| = 3 - 2 \\ \\ \\ \boxed{\boxed{\boxed{\sf |A| = 1}}}$

Dado que o determinante é diferente de 0, iremos substituir a = 1, b = 1, c = 2, d = 3 na fórmula para encontrar o inverso.

• Fórmula encontrar o inverso $\sf A {}^{ - 1} = \frac{1}{ad - bc} \cdot\begin{bmatrix}\sf d& & \sf - b \\ & & \\\sf - c& & \sf a \\ \end{bmatrix}$

$\sf A {}^{ - 1} = \frac{1}{1 \cdot3- 1 \cdot2} \cdot\begin{bmatrix}\sf 3& & \sf - 1\\ & & \\\sf - 2& & \sf 1\\ \end{bmatrix} \\ \\ \\ \sf A {}^{ - 1} = \frac{1}{3 - 1 \cdot2} \cdot\begin{bmatrix}\sf 3 & & \sf - 1\\ & & \\ \sf - 2 & & \sf 1 \\ \end{bmatrix} \\ \\ \\ \sf A {}^{ - 1} = \frac{1}{3 - 2} \cdot\begin{bmatrix}\sf 3 & & \sf - 1\\ & & \\ \sf - 2 & & \sf 1 \\ \end{bmatrix} \\ \\ \\ \sf A {}^{ - 1} = \cancel{\frac{1}{1} } \cdot\begin{bmatrix}\sf 3 & & \sf - 1\\ & & \\ \sf - 2 & & \sf 1 \\ \end{bmatrix} \\ \\ \\ \sf A {}^{ - 1} = \cancel1 \cdot\begin{bmatrix}\sf 3 & & \sf - 1\\ & & \\ \sf - 2 & & \sf 1 \\ \end{bmatrix} \\ \\ \\ \boxed{\boxed{\sf A {}^{ - 1} = \begin{bmatrix}\sf 3 & & \sf - 1\\ & & \\ \sf - 2 & & \sf 1 \\ \end{bmatrix}}}$

Achado o inverso da matriz coeficiente, iremos substituir $\sf A {}^{ - 1} = \begin{bmatrix} \sf 3 & & \sf - 1\\ & & \\ \sf - 2 & & \sf 1 \\ \end{bmatrix}$, $\sf X = \begin{bmatrix}\sf x \sf \\ \\\sf y \end{bmatrix}$, e $\sf B = \begin{bmatrix} \sf 12\\ \\ \sf 27 \\ \end{bmatrix}$.

• Na equação será $\sf X = A {}^{ - 1} B$.

$\begin{bmatrix}\sf x \sf \\ \\\sf y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sf 3 & & \sf - 1\\ & & \\ \sf - 2 & & \sf 1 \\ \end{bmatrix} \cdot\sf \begin{bmatrix} \sf 12\\ \\ \sf 27 \\ \end{bmatrix}$

Agora iremos multiplicar os elementos da linha 1 da primeira matriz pelos elementos da coluna 1 da segunda matriz colocando a soma dos produtos no lugar apropriado, e logo após realizarmos isso iremos multiplicar os elementos da linha 2 da primeira matriz pelos elementos da coluna 1 da segunda matriz colocando a soma dos dos produtos no local apropriado novamente.

$\begin{bmatrix}\sf x \sf \\ \\\sf y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\sf 3 \cdot12 + ( - 1) \cdot27 \sf \\ \\ \sf - 2 \cdot12 + 1 \cdot27 \end{bmatrix} \\ \\ \\ \begin{bmatrix}\sf x \sf \\ \\\sf y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\sf 36 \red + \red( \green- 1 \red) \cdot27 \sf \\ \\ \sf - 2 \cdot12 + 1 \cdot27 \end{bmatrix} \\ \\ \\ \begin{bmatrix}\sf x \sf \\ \\\sf y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\sf 36 - 1 \cdot27 \sf \\ \\ \sf - 2 \cdot12 + 1 \cdot27 \end{bmatrix} \\ \\ \\ \begin{bmatrix}\sf x \sf \\ \\\sf y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\sf 36 - 27 \sf \\ \\ \sf - 2 \cdot12 + 1 \cdot27 \end{bmatrix} \\ \\ \\ \begin{bmatrix}\sf x \sf \\ \\\sf y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\sf 9\sf \\ \\ \sf - 2 \cdot12 + 1 \cdot27 \end{bmatrix} \\ \\ \\ \begin{bmatrix}\sf x \sf \\ \\\sf y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\sf 9\sf \\ \\ \sf -24 + 1 \cdot27 \end{bmatrix} \\ \\ \\ \begin{bmatrix}\sf x \sf \\ \\\sf y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\sf 9\sf \\ \\ \sf -24 + 27\end{bmatrix} \\ \\ \\ \boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\begin{bmatrix}\sf \red x \sf \\ \\\sf \blue y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\sf \red9\sf \\ \\ \sf \blue3 \end{bmatrix} }}}}}$

Agora iremos ligar as incógnitas com as igualdades de acordo com suas respectivas cores e posições como mostrado na fórmula acima.

Resposta:

$\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf (x,y) = (9,3)}}}}}$

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Att: Nerd1990