Question

dada a função y = cos x- sen x, encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto (π, -1)?
por favor, me ajudem!!

Answer 1

Temos a seguinte função:

$y = \cos(x) - \sin(x)$

A questão quer saber qual a reta tangente a essa função acima que passa pelo ponto P(π, -1), para isso devemos iniciar fazer a derivação da função.

• Derivada da função:

→ Como sabemos, a derivada gera o coeficiente angular da reta tangente.

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} ( \cos(x) - \sin(x)) \longrightarrow \boxed{ \frac{dy}{dx} = - \sin(x) - \cos(x)}$

Como eu disse, a derivada representa o coeficiente angular, portanto se substituirmos o valor de "x" na função, encontraremos um valor numérico para esse coeficiente angular:

$\frac{dy}{dx} = - \sin(\pi) - \cos(\pi) \longrightarrow \boxed{\frac{dy}{dx} = 1} \\ mas, \: \frac{dy}{dx} \: \acute{e} \: equivalente \: ao \: (m) \: que \\ representa \: o \: coeficiente \: angular \\ , \: logo : \: \green{\boxed{\orange{ \boxed{ \red{\boxed{ \frac{dy}{dx} = m = 1}}}}}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Com isso obtivemos o coeficiente angular da reta tangente a curva.

• Montagem da equação da reta tangente:

Para fazer essa montagem, tem várias formas, a mais simples é a que usar a equação fundamental da reta, dada por:

$y - y_0 = m.(x - x_0) \\ \boxed{sendo \: x_0 \: e \: y_0 \: as \: coordenadas \: do \: ponto \: de \: tang \hat{e}nc ia}$

Substituindo os dados que possuímos nessa relação citada acima:

$m = 1 \: \: e \: \: P( \underbrace{\pi}_{x}, \underbrace{-1}_{y} ) \\ y - ( - 1) = 1.(x - \pi) \\ y + 1 = 1.x - 1.\pi \\ y + 1 = x -\pi \\ \boxed{x - y - \pi - 1 = 0}$

Espero ter ajudado