Question

(UERJ) O polinômio P(x) = x4 − 4x3 + 13x2 − 36x + 36 é divisível por (x − 2)2 . Calcule P(2) e resolva a equação P(x) = 0.

Answer 1

Para calcular $P(2)$, basta substituir x por 2:

$P(2)=2^4-4\cdot2^3+13\cdot2^2-36\cdot2+36$

$P(2)=16-32+52-72+36$

$P(2)=0$

Sendo $(x-2)^2=x^2-4x+4$, ao realizarmos a divisão do polinômio original por ele, ficamos com:

x^4-4x³+13x²-36x+36|  x²-4x+4

-x^4+4x³-4x²              --------------

==============          x²+9

9x²-36x+36

-9x²+36x-36

==============

0

Concluindo assim que $x^4-4x^3+13x^2-36x+36=(x-2)^2\cdot(x^2+9)$. Igualando a 0, ficamos com $(x-2)^2\cdot(x^2+9)=0$. As soluções dessa equação são $(x-2)^2=0$ e $x^2+9=0$.

Da 1º equação tiramos que duas das raízes da equação são iguais a 2, enquanto as outras duas são dadas por:

$x^2+9=0$

$x^2=-9$

$x=\pm\sqrt{-9}$

$x=\pm 3i$

Concluindo assim que o conjunto solução de $P(x)=0$ é $S=\{2,-3i,3i\}$.