Question

como resolver 3x+2<2x-1<4x+3

Answer 1

Resolver a dupla desigualdade

$3x+2<2x-1<4x+3$


é equivalente a resolver as duas desigualdades simultaneamente:

$3x+2<2x-1\;\;\text{ e }\;\;2x-1<4x+3$


ou seja, resolver o sistema

$\left\{\begin{array}{lc}3x+2<2x-1&\;\;\;\mathbf{(i)}\\ \\ 2x-1<4x+3&\;\;\;\mathbf{(ii)} \end{array} \right.$


$\bullet\;\;$ Resolvendo a inequação $\mathbf{(i)},$ temos

$3x+2<2x-1\\ \\ 3x-2x<-1-2\\ \\ x<-3$


A solução para a inequação $\mathbf{(i)}$ é o conjunto

$S_{1}=\{x \in \mathbb{R}\left|\,x<-3\right.\}$

ou escrevendo em notação de intervalos,

$S_{1}=(-\infty;\,-3)$


$\bullet\;\;$ Resolvendo a inequação $\mathbf{(ii)},$ temos

$2x-1<4x+3\\ \\ 2x-4x<3+1\\ \\ -2x<4$


Dividindo os dois lados da desigualdade acima por $-2,$ que é um número negativo, o sentido da desigualdade se inverte, ou seja, o sinal "$<$" é trocado para "$>$". E assim, chegamos a

$x>\frac{4}{-2}\\ \\ x>-2$


A solução para a inequação $\mathbf{(ii)}$ é o conjunto

$S_{2}=\{x \in \mathbb{R}\left|\,x>-2\right.\}$

ou em notação de intervalos,

$S_{2}=(-2;\,+\infty)$


A solução da dupla desigualdade dada inicialmente é a interseção entre as soluções de cada desigualdade do sistema:

$S=S_{1}\cap S_{2}\\ \\ S=(-\infty;\,-3)\cap (-2;\,+\infty)$


Não existe número real que seja ao mesmo tempo menor que $-3$ e maior que $-2.$


Logo, a dupla desigualdade não tem solução, ou de forma equivalente, dizemos que o conjunto solução é vazio:

$S=\varnothing$