Question

19 Considere, num referencial ortonormado do
espaço, os pontos:
A(-3,-1, 2); B(1,-1,0) e C(1, 3, -2)
19.1. Classifique o triângulo [ABC] quanto ao
comprimento dos lados.
19.2. Determine a área do triângulo [ABC].
(Só a 19.2)
Helpppp

Answer 1

Sendo os vetores $\vec{AB}=B-A=(4,0,-2)$ e $\vec{AC}=C-A=(4,4,-4)$, a área do triângulo será igual à metade do módulo do vetor resultante do produto vetorial entre eles. Vamos então calcular o produto vetorial:

$\vec{AB}\times\vec{AC}=\begin{vmatrix}i &j &k \\ 4 &0 &-2 \\ 4 &4 &-4 \end{vmatrix}$

$\vec{AB}\times\vec{AC}=i\cdot0\cdot(-4)+j\cdot(-2)\cdot4+k\cdot4\cdot4-[k\cdot0\cdot4+j\cdot4\cdot(-4)+i\cdot4\cdot(-2)]$

$\vec{AB}\times\vec{AC}=-8j+16k-(-16j-8i)$

$\vec{AB}\times\vec{AC}=-8j+16k+16j+8i$

$\vec{AB}\times\vec{AC}=8i+8j+16k=(8,8,16)$

Calculamos agora o módulo do vetor resultante e dividimos por 2, achando assim a área $A$:

$A=\frac{\left \| \vec{AB}\times\vec{AC} \right \|}{2}$

$A=\frac{\sqrt{8^2+8^2+16^2}}{2}$

$A=\frac{\sqrt{2\cdot8^2+(8\cdot2)^2}}{2}$

$A=\frac{\sqrt{2\cdot8^2+4\cdot8^2}}{2}$

$A=\frac{\sqrt{6\cdot8^2}}{2}$

$A=\frac{8\sqrt{6}}{2}$

$A=4\sqrt{6}\;\text{u.a}$