Question

Calcule o valor de k de modo que a função f(x) = 4x² – 4x – k não tenha raízes, isto é, o gráfico da parábola não possui ponto em comum com o eixo x.

Answer 1

Resposta:

k < -1

Explicação passo-a-passo:

Vamos lá.

Veja, que a resolução é simples.

Pede-se para determinar o valor de "k" na função f(x) = 4x²-4x-k, de modo que essa função NÃO tenha raízes reais, ou seja, o gráfico (parábola) não possui ponto em comum com o eixo "x".

Antes de iniciar, veja estes rápidos prolegômenos:

i) Uma função do segundo grau, da forma f(x) = ax² + bx + c, terá duas raízes reais e diferentes se e somente se o seu Δ (b²-4ac) for maior do que zero.

ii) Uma função do 2º grau, da forma f(x) = ax² + bx + c, terá apenas uma raiz real (ou seja terá duas raízes reais mas ambas iguais) se e somente se o seu Δ (b²-4ac) for igual a zero.

iii) Uma função do 2º grau, da forma f(x) = ax² + bx + c, NÃO terá nenhuma raiz real se e somente se o seu Δ (b²-4ac) for menor do que zero.

iv) Assim, tendo, portanto, o que viu aí em cima como parâmetro, então vamos responder ao que pede a sua questão, que pede os possíveis valores de "k" para que a função abaixo NÃO tenha nenhuma raiz real:

f(x) = 4x² - 4x - k ---- note que os coeficientes são: a = 4; b = -4; e c = -k

Veja que o Δ (b² - 4ac) da função acima será este: (-4)² - 4*4*(-k). Então, como queremos que a função acima NÃO tenha nenhuma raiz real, então vamos impor que o delta acima seja MENOR do que zero (negativo). Assim:

(-4)² - 4*4*(-k) < 0 ---- desenvolvendo, teremos:

16 + 16k < 0 ---- passando "16" para o 2º membro, temos:

16k < -16 ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", ficaremos:

k < -16/16

k < -1 ----- Esta é a resposta. Ou seja, basta que "k" seja menor do que "-1" para que a equação da sua questão NÃO tenha raízes reais.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

Answer 2

✅ Após de resolver os cálculos, concluímos que o valor do parâmetro "k" que deixa a função quadrática sem raízes reais é:

                 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf k < -1\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a função do segundo grau:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x) = 4x^{2} - 4x - k\end{gathered}$

Cujos coeficientes são:

                         $\Large\begin{cases} a = 4\\b = -4\\c = -k\end{cases}$

Para que o gráfico da referida função não possua pontos comuns ao eixo das abscissas, isto é, não possuas raízes reais, o valor de seu discriminante - delta - deve ser menor que "0". Então, temos:

                                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \Delta < 0\end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} b^{2} - 4ac < 0\end{gathered}$

   $\Large\displaystyle\begin{gathered} (-4)^{2} - 4\cdot4\cdot(-k) < 0\end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} 16 + 16k < 0\end{gathered}$

                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} 16k < -16\end{gathered}$

                                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} k < -\frac{16}{16}\end{gathered}$

                                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} k < -1\end{gathered}$

✅ Portanto, o valor do parâmetro "k" é:

                                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} k < -1\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$