Question

Seja uma superfície esférica que passa pelo ponto (0,1,3) e possui centro que coincide com o centro do elipsoide dado por 4x²+y²+16z²+8x-4y-32z+8 =0.

a)Escreva a equação do elipsoide na forma canônica (padrão).
b)Escreva a equação dessa superfície esférica.

Answer 1

a)

A equação canônica de um elipsoide é uma equação do tipo $\left(\frac{x-x_0}{a}\right)^2+\left(\frac{y-y_0}{b}\right)^2+\left(\frac{z-z_0}{c}\right)^2=1$, onde o ponto $(x_0,y_0,z_0)$ é o centro do elipsoide. Devemos então reescrever a equação dada nessa forma. Vamos começar dividindo ambos os lados da igualdade por 16:

$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}+z^2+\frac{x}{2}-\frac{y}{4}-2z+\frac{1}{2}=0$

Devemos agora realizar o complemento de quadrados:

$\frac{x^2}{4}+\frac{x}{2}+\frac{y^2}{16}-\frac{y}{4}+z^2-2z+\frac{1}{2}=0$

$\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}+\left(\frac{y}{4}-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}+\left(z-1\right)^2-1+\frac{1}{2}=0$

$\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{y}{4}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(z-1\right)^2-1=0$

$\left(\frac{x+1}{2}\right)^2+\left(\frac{y-2}{4}\right)^2+\left(z-1\right)^2=1$

b)

Uma circunferência de centro $C(x_0,y_0,z_0)$ e raio $r$ têm como equação $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2$. Pelo que foi dito no enunciado, o centro do elipsoide calculado na letra a) é coincidente com o centro da circunferência. Daí tiramos que o centro da circunferência é $C(-1,2,1)$.

Como o ponto (0, 1, 3) pertence à circunferência, concluímos que:

$[0-(-1)]^2+(1-2)^2+(3-1)^2=r^2$

$1+1+4=r^2$

$r^2=6$

Concluindo assim que a equação da superfície esférica é $(x+1)^2+(y-2)^2+(z-1)^2=6$.