Question

Uma pedra é deixada cair de uma altura de 41.4 m, acima do solo, enquanto uma segunda pedra é simultaneamente projetada a partir do solo com velocidade suficiente para elevá-la a 41.4 m. (a) Quando e (b) onde as pedras se encontram? OBS: Use a aceleração da gravidade como 10 m/s²

Answer 1

Utilizando formulações da função horaria do espaço temos que estas pedras se encontram em 1,43 segundos na altura 31,2 metros.

Explicação:

Para resolvermos esta questão só precisamos utilizar a função horaria do espaço, que é dada por:

$S(t)=S_0+V_0.t+\frac{a.t^2}{2}$

Onde 'S(t)' é a posição depois de passados 't' segundos, 'So' é a posição inicial, 'Vo' é a velocidade inicial e 'a' é a aceleração que age sobre o corpo.

Assim vamos montar essa função para a pedra A que cai e a pedra B que sobe.

Pedra A tem posição inicial 41,4 m, velocidade inicial 0, pois foi largada e aceleração é -10 m/s², pois a gravidade está puxando para baixo e portanto diminuindo a altura. Assim substituindo estes dados a função dela é:

$S_A(t)=41,4-5t^2$

Pedra B tem posição inicial 0 m de altura, velocidade Vo desconhecida ainda e mesma aceleração que é a gravidade, então:

$S_B(t)=V_0t-5t^2$

Para descobrirmos a velocidade inicial de B, vamos utilizar a seguinte equação:

$V_f^2=V_0^2+2.a.\Delta S$

Pois sabemos que a pedra B tem exatamente velocidade para alcançar o maximo de 41,4 m, ou seja, quando ela chega nesta altura ela para e fica com velocidade final igual a 0 para então voltar a cair. Assim substituindo estes valores:

$V_f^2=V_0^2+2.a.\Delta S$

$0^2=V_0^2+2.(-10).(41,4-0)$

$0=V_0^2-20.41,4$

$0=V_0^2-828$

$V_0^2=828$

$V_0=\sqrt{828}$

$V_0=28,8$

Assim com este valor de velocidade final, temos a função do espaço para B:

$S_B(t)=28,8t-5t^2$

E com isso as duas equações de espaço:

$S_A(t)=41,4-5t^2$

$S_B(t)=28,8t-5t^2$

Agora para sabermos onde estas pedras se encontram, basta igualar estas duas funções, pois estas dizem a posição delas e quantas estas forem iguais, então elas estarão se encontrando:

$S_A(t)=S_B(t)$

$41,4-5t^2=28,8t-5t^2$

$41,4=28,8t$

$\frac{41,4}{28,8}=t$

$t=1,43$

Assim elas se encontrarão em 1,43 segundos. Para descobrirmos onde elas se encontrarão, basta substituir este tempo em qualquer uma das funções de espaço, pois as duas vão dar no mesmo valor, afinal elas estarão no mesmo lugar:

$S_A(t)=41,4-5t^2$

$S_A(t)=41,4-5(1,43)^2$

$S_A(t)=41,4-5.2,04$

$S_A(t)=41,4-10,2$

$S_A(t)=31,2$

Assim temos que estas irão se encontrar na altura 31,2 metros.