Question

Calcule a quarta potência do número complexo z, na forma algébrica

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

$z^{4}=3^{4}(cos\frac{4\pi}{2}+isen\frac{4\pi}{2})=81(cos2\pi+isen2\pi)=81(1+0)=81.1=81$

Resposta, 4° opção

Answer 2

Temos o seguinte número complexo:

$z = 3 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right)$

A questão quer saber qual a quarta potência desse tal número, para isso devemos usar a primeira fórmula de MOIVRE, dada por:

$\boxed{z {}^{n} = \rho {}^{n} ( \cos( \theta.n ) + i. \sin( \theta.n))}$

Aplicando essa lógica da fórmula na questão:

$z {}^{4} = \: 3 {}^{4} \left( \cos \left( \frac{\pi}{2} .4\right) + i. \sin\left( \frac{\pi}{2} .4\right)\right) \\ z {}^{4} = 81 \left( \cos \left( 2\pi\right) + i. \sin(2\pi)\right) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Agora é só resolver essa equação, ou seja, encontrar o valor de sen(2π) e cos(2π) que são bem simples de se saber sen(2π) = 0 e cos (2π) = 1. Substituindo esses dados, temos que:

$z {}^{4} = 81 (1 + i.0) \\ z {}^{4} = 81.1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \boxed{ \boxed{\boxed{ z {}^{4} = 81}}}$

Espero ter ajudado