Question

calcule f(3)(9), se f(x)=xg(√x), g'(3)=6, g"(3)=1 e g(3)(3) = 2

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre derivação.

Seja a função $f(x)=x\cdot g(\sqrt{x})$, em que $g'(3)=6,~g''(3)=1$ e $g^{(3)}(3)=2$. Devemos calcular o valor de $f^{(3)}(9)$.

Primeiro, calculamos a primeira derivada da função $f(x)$:

$[f(x)]'=[x\cdot g(\sqrt{x})]'$

Lembre-se que:

• A derivada de um produto entre duas ou mais funções é calculado pela regra do produto: $[h(x)\cdot j(x)]'=h'(x)\cdot j(x)+h(x)\cdot j'(x)$.
• Em adição à regra do produto, se um dos fatores é uma constante, sabendo que sua derivada é igual a zero, tem-se que $[a\cdot f(x)]'=a\cdot f'(x)$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^(n-1)$.
• A derivada de uma função composta é calculada pela regra da cadeia: $[h(j(x))]'=j'(x)\cdot h'(j(x))$.
• A derivada de ordem superior de uma função pode ser calculada de maneira iterada: $h^{(3)}(x)=[h''(x)]'=[[h'(x)]']'=[[[h(x)]']']'$.
• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.

Assim, teremos:

$f'(x)=(x)'\cdot g(\sqrt{x})+x\cdot [g(\sqrt{x})]'$

Aplique a regra da potência e da cadeia

$f'(x)=1\cdot g(\sqrt{x})+x\cdot (\sqrt{x})'\cdot g'(\sqrt{x})$

Aplique novamente a regra da potência, lembrando que $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$

$f'(x)=g(\sqrt{x})+x\cdot\dfrac{1}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}-1}\cdot g'(\sqrt{x})\\\\\\ f'(x)=g(\sqrt{x})+\dfrac{\sqrt{x}}{2}\cdot g'(\sqrt{x})$

Então, calculamos a segunda derivada da função $f(x)$

$f''(x)=\left[g(\sqrt{x})+\dfrac{\sqrt{x}}{2}\cdot g'(\sqrt{x})\right]'$

Aplique a regra da soma

$f''(x)=[g(\sqrt{x})]'+\left[\dfrac{\sqrt{x}}{2}\cdot g'(\sqrt{x})\right]'$

Aplique a regra da cadeia, do produto e da constante

$f''(x)= (\sqrt{x})'\cdot g'(\sqrt{x})+\dfrac{1}{2}\cdot\left([\sqrt{x}]'\cdot g'(\sqrt{x})+\sqrt{x}\cdot (\sqrt{x})'\cdot g''(\sqrt{x})\right)$

Aplique a regra da potência e multiplique os termos. Some os termos semelhantes

$f''(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\cdot g'(\sqrt{x})+\dfrac{1}{4\sqrt{x}}\cdot g'(\sqrt{x})+\dfrac{1}{2}\cdot g''(\sqrt{x})\\\\\\ f''(x)=\dfrac{3}{4\sqrt{x}}\cdot g'(\sqrt{x})+\dfrac{1}{2}\cdot g''(\sqrt{x})$

Por fim, calculamos a derivada de terceira ordem da função $f(x)$

$f^{(3)}(x)=\left[\dfrac{3}{4\sqrt{x}}\cdot g'(\sqrt{x})+\dfrac{1}{2}\cdot g''(\sqrt{x})\right]'$

Aplique a regra da soma

$f^{(3)}(x)=\left[\dfrac{3}{4\sqrt{x}}\cdot g'(\sqrt{x})\right]'+\left[\dfrac{1}{2}\cdot g''(\sqrt{x})\right]'$

Aplique a regra da constante, do produto e da cadeia

$f^{(3)}(x)=\dfrac{3}{4}\cdot \left(\left[\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right]'\cdot g'(\sqrt{x})+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\cdot (\sqrt{x})'\cdot g''(\sqrt{x})\right) + \dfrac{1}{2}\cdot (\sqrt{x})'\cdot g^{(3)}(\sqrt{x})$

Aplique a regra da potência e multiplique os termos.

$f^{(3)}=\dfrac{3}{4}\cdot\left(-\dfrac{1}{2x^{\frac{3}{2}}}\cdot g'(\sqrt{x})\right)+\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{x}}\cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\cdot g''(\sqrt{x})+\dfrac{1}{4\sqrt{x}}\cdot g^{(3)}(\sqrt{x})$

$f^{(3)}(x)=-\dfrac{3}{8x^{\frac{3}{2}}}\cdot g'(\sqrt{x})+\dfrac{3}{8x}\cdot g''(\sqrt{x})+\dfrac{1}{8\sqrt{x}}\cdot g^{(3)}(\sqrt{x})$

Para calcularmos $f^{(3)}(9)$, substitua $x = 9$:

$f^{(3)}(9)=-\dfrac{3}{8\cdot 9^{\frac{3}{2}}}\cdot g'(\sqrt{9})+\dfrac{3}{8\cdot 9}\cdot g''(\sqrt{9})+\dfrac{1}{8\sqrt{9}}\cdot g^{(3)}(\sqrt{9})$

Calcule as potências e substitua os valores dados pelo enunciado

$f^{(3)}(9)=-\dfrac{1}{72}\cdot 6+\dfrac{1}{24}\cdot 1+\dfrac{1}{24}\cdot2$

Multiplique e some as frações

$f^{(3)}(9)=-\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{24}+\dfrac{1}{12}\\\\\\ f^{(3)}(9)=\dfrac{1}{24}~~\checkmark$

Este é o valor que buscávamos.