Question

Questão 02 - Se (x + 1)! = 3(x!), então x é igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5​

Answer 1

Equações com fatoriais são sempre um problema, pois os valores possíveis para o fatorial são limitados, de modo que uma equação do tipo

$x! = k$

só tem solução para um conjunto muito pouco denso de k. Normalmente o que fazemos nessas soluções é obter um polinômio a partir da divisão de fatoriais, já que

$p(x) = k$

Tem solução para um conjunto mais denso de k. No exercício dado podemos obter um polinômio bem claro, basta dividir por x!,

$(x+1)! = 3(x!) \iff \dfrac{(x+1)!}{x!} = 3\dfrac{x!}{x!} \iff \dfrac{(x+1)!}{x!}=3$

$\dfrac{(x+1)!}{x!}=3 \iff \dfrac{(x+1)x!}{x!} = 3 \iff x+1=3 \iff x=2$

Obtemos, portanto, que a resposta é alternativa b)

Answer 2

• Define-se fatorial de um número inteiro positivo n, cuja notação é n!, o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a n.

n! = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ (n − 3) ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1

• Observe portanto que:

(x + 1)! = (x + 1) ⋅ x ⋅ (x − 1) ⋅ (x − 2) … 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ①

• Observe ainda que, pela definição:

x! = x ⋅ (x − 1) ⋅ (x − 2) … 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ②

• Substitua ② em ①.

(x + 1)! = (x + 1) ⋅ x!

• Do enunciado, se (x + 1)! = 3(x!) então:

(x + 1)! = 3(x!)

(x + 1) ⋅ x! = 3(x!) ⟹ Divida ambos os membros por x!

x + 1 = 3 ⟹ Subtraia 1 de ambos os membros.

x = 2

Resposta: Alternativa B.

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