Question

Resolva em R a equaçao modular |x2-1|=2x-1​

Answer 1

Dada a equação:

$\begin{array}{l}\sf |x^2-1|=2x-1\\\\\end{array}$

Antes de tudo, devemos fazer uma restrição tendo em vista que :

• |x| = y, com y ≥ 0. Assim:

$\begin{array}{l}\\\sf2x-1\,\geq\,0\\\\\sf 2x\,\geq\,1\\\\\sf x\,\geq\,\dfrac{1}{2}\end{array}$

→ restrição: x deve somente admitir valores maiores ou iguais a 1/2.

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Agora vamos determinar x. Sendo uma equação modular temos que:

• |x| = y ⇔ x = y ou x = – y. Assim:

$\begin{array}{l}\\\sf x^2-1=2x-1\\\\\sf x^2-2x=-1+1\\\\\sf x^2-2x=0\\\\\sf x\cdot(x-2)=0\\\\\sf\Rightarrow~x'=0\\\\\sf\Rightarrow~x-2=0~\Leftrightarrow~x''=2\\\\\end{array}$

ou

$\begin{array}{l}\\\sf x^2-1=-(2x-1)\\\\\sf x^2-1=-2x+1\\\\\sf x^2+2x=1+1\\\\\sf x^2+2x=2\\\\\sf x^2+2x-2=0\end{array}$

Aplicando fórmula de Bhaskara...

$\begin{array}{l}\sf x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\\\\sf x=\dfrac{-(2)\pm\sqrt{(2)^2-4\cdot1\cdot(-2)}}{2\cdot1}\\\\\sf x=\dfrac{-2\pm\sqrt{4+8}}{2}\\\\\sf x=\dfrac{-2\pm\sqrt{12}}{2}\\\\\sf x=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^2\cdot3}}{2}\\\\\sf x=\dfrac{-2\pm2\sqrt{3}}{2}\\\\\sf x=\begin{cases}\sf x'=\dfrac{-2+2\sqrt{3}}{2}=-1+\sqrt{3}\\\\\sf x''=\dfrac{-2-2\sqrt{3}}{2}=-1-\sqrt{3}\end{cases}\end{array}$

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Desta forma encontramos 4 valores para x:

• 0, 2, – 1 + √3 e – 1 – √3.

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Tendo em vista a restrição imposta do início (em que x ≥ 1/2), vamos averiguar:

• 0 ≥ 1/2 → falso
• 2 ≥ 1/2 → ok
• – 1 + √3 ≥ 1/2 → ok
• – 1 – √3 ≥ 1/2 → falso

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Portanto há somente duas possíveis soluções para esta equação:

$\boxed{\begin{array}{l}\sf S=\Big\{\:2 \: ~~;~~-1+\sqrt{3}\:\Big\}\end{array}}$

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Att Nasgovaskov

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