Question

Seja n um inteiro não negativo. Mostre que n^2 é múltiplo de 5 então n deve ser múltiplo de 5

Answer 1

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⠀⠀☞ Através de uma reductio ad absurdum (redução ao absurdo) demonstramos que se 5 | n² então necessariamente 5 | n. ✅

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⠀⠀Vamos supor, por absurdo, que n, um número inteiro não negativo, não seja múltiplo de cinco. Portanto teremos:

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⠀⠀$\LARGE\gray{\boxed{\sf\blue{~~n = 5 \cdot k + r~~}}}$

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$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\blue{ \sf \{n, k, r \in \mathbb{Z}+~|~0 < r < 5\} }}$

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⠀⠀Elevando ambos os lados da igualdade ao quadrado teremos:

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$\LARGE\blue{\sf n^2 = (5k + r)^2 }$

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$\LARGE\blue{\sf n^2 = 25k^2 + 10kr + r^2 }$

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⠀⠀Sabemos, pelo enunciado, que 5 | n²  (lê-se "5 divide n²").

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⠀⠀Temos, também que 5 | 25k² e 5 | 10kr.

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⠀⠀No entanto, temos que 0 < r < 5 o que implica em 5 ∤ r (lê-se "5 não divide r"), ou em outras palavras, r não é múltiplo de 5. Se 5 ∤ r então também 5 ∤ r² pois para que r se torne um múltiplo de 5 através de uma multiplicação somente é possível se r for multiplicado por um múltiplo de 5, o que não é o caso. Outra forma de analisar que 5 ∤ r² é que elevar um número ao quadrado nada mais é do que elevar ao quadrado seus fatores primos constituintes, dentre os quais o 5 não consta (observe que poderíamos ter resolvido o problema somente com esta justificativa).

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⠀⠀Porém se 5 ∤ r² então caímos em um absurdo, pois sabemos que 25k² + 10kr + r² = n² e que pelo enunciado 5 | n², o que prova que se 5 | n² então também 5 | n. ✅

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