Question

Analisando o sistema linear abaixo, determine os valores de "a", para que o sistema seja possível e determinado.

a) "a", deve ser diferente de apenas 3;
b) "a", deve ser igual a 3;
c) "a", deve ser diferente de 3 e de -3;
d) "a", deve ser igual a -3.

Answer 1

Um Sistema Possível e Determinado, ou seja SPD, é a classificação dada ao sistema que possui uma única solução. Isso se dá quando o determinante dos coeficientes deste sistema é diferente de zero.

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Assim, no sistema dado:

$\begin{array}{l}\begin{cases}\sf ax+3y=a\\\\\sf 3x+ay=-a\end{cases}\end{array}$

Devemos encontrar valor de ''a'' para que a classificação do sistema seja SPD.

$~~$

Então montando o determinante dos coeficientes deste sistema:

$\begin{array}{l}\sf det=\begin{vmatrix}\sf a&\sf3\\\sf3&\sf a\end{vmatrix}\end{array}$

E como vimos ali no inicio, num sistema possível e determinado o determinante é diferente de zero:

$\begin{array}{l}\sf\begin{vmatrix}\sf a&\sf3\\\sf3&\sf a\end{vmatrix}\,\neq\,0\end{array}$

Para calculá-lo, basta fazer o produto de uma diagonal e subtrair do produto de outra diagonal:

$\begin{array}{l}\sf (a\cdot a)-(3\cdot3)\,\neq\,0\\\\\sf (a)^2-(3)^2\,\neq\,0\\\\\sf(a+3)\cdot(a-3)\,\neq\,0\\\\\begin{cases}\sf a+3\,\neq\,0\\\\\sf a-3\,\neq\,0\end{cases}\\\\\begin{cases}\sf a\,\neq\,-3\\\\\sf a\,\neq\,3\end{cases}\\\\\end{array}$

Assim, satisfazendo a condição em que o sistema é um SPD, só é possível para quando a ≠ 3 , – 3.

Resposta: Letra C)

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Att. Nasgovaskov

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