Question

Encontre o comprimento do arco da curva dada:
Y= (x^2)/2 - (lnx)/4 com 2 ≤ x ≤ 4
Eu não estou conseguindo reslvê-la, alguém poderia me ajudar?

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre o cálculo de comprimento de arcos utilizando integrais.

Seja a curva gerada pelo gráfico da função $y=\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{\ln(x)}{4}$. Devemos calcular o comprimento do arco da curva no intervalo fechado $2\leq x\leq 4$.

Lembre-se que o comprimento de um arco da curva $y=y(x)$, contínua em um intervalo fechado $[a,~b]$ é calculado pela integral: $\displaystyle{\int_C \,ds=\int_a^b\sqrt{1+\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$.

Então, diferenciamos ambos os lados da igualdade, de modo a encontrarmos $\dfrac{dy}{dx}$:

$(y)'=\left(\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{\ln(x)}{4}\right)'$

Lembre-se que:

• A derivada implícita de função é calculada pela regra da cadeia: $y'=\dfrac{dy}{dx}$.
• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada do produto entre uma constante e uma função pode ser reescrita como: $(c\cdot f(x))'=c\cdot f'(x)$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$^.
• A derivada da função logaritmo natural é dada por: $(\ln(x))'=\dfrac{1}{x}$.

Aplicando estas regras, facilmente teremos:

$\dfrac{dy}{dx}=x-\dfrac{1}{4x}$

Substituindo este resultado na integral, temos:

$\displaystyle{\int_2^4\sqrt{1+\left(x-\dfrac{1}{4x}\right)^2}\,dx$

Faça uma substituição $x-\dfrac{1}{4x}=\tan(\alpha)$

Ao resolvermos esta equação para a variável $x$, facilmente encontramos:

$x=\dfrac{\tan(\alpha)+\sec(\alpha)}{2}$

Diferenciamos ambos os lados da igualdade para encontrarmos o diferencial $dx$:

$(x)'=\left(\dfrac{\tan(\alpha)+\sec(\alpha)}{2}\right)'$

Sabendo que $(\tan(\alpha))'=\sec^2(\alpha)\,\dfrac{d\alpha}{dx}$ e $(\sec(\alpha))'=\sec(\alpha)\tan(\alpha)\,\dfrac{d\alpha}{dx}$, temos:

$1=\dfrac{\sec^2(\alpha)+\sec(\alpha)\tan(\alpha)}{2}\cdot\dfrac{d\alpha}{dx}$

Multiplicando ambos os lados da igualdade pelo diferencial $dx$, finalmente teremos:

$dx=\dfrac{\sec^2(\alpha)+\sec(\alpha)\tan(\alpha)}{2}\,d\alpha$

Devemos ainda alterar os limites de integração. Quando $x=2,~\alpha\rightarrow \arctan\left(\dfrac{15}{8}\right)$ e quando $x=4,~\alpha\rightarrow \arctan\left(\dfrac{63}{16}\right)$.

Substituindo estes resultados na integral, temos:

$\displaystyle{\int_{\biggr{\arctan\left(\frac{15}{8}\right)}}^{\biggr{\arctan\left(\frac{63}{16}\right)}}\sqrt{1+\tan^2(\alpha)}\cdot\dfrac{\sec^2(\alpha)+\sec(\alpha)\tan(\alpha)}{2}\,d\alpha$

Sabendo que $1+\tan^2(\alpha)=\sec^2(\alpha)$, calculamos o radical e multiplicamos os termos

$\displaystyle{\int_{\biggr{\arctan\left(\frac{15}{8}\right)}}^{\biggr{\arctan\left(\frac{63}{16}\right)}}\sec(\alpha)\cdot\dfrac{\sec^2(\alpha)+\sec(\alpha)\tan(\alpha)}{2}\,d\alpha}\\\\\\ \displaystyle{\int_{\biggr{\arctan\left(\frac{15}{8}\right)}}^{\biggr{\arctan\left(\frac{63}{16}\right)}}\dfrac{\sec^3(\alpha)+\sec^2(\alpha)\tan(\alpha)}{2}\,d\alpha}$

Acompanhe o restante da solução desta questão no PDF em anexo.

cbda32f8f81d0c6fdb3b213ab39bd467.pdf