Question

11. Determine uma equação da circunferência que tem:
a) centro em O(2, 4) e raio 5.
b) centro em O(–5, 3) e raio 2.
c) centro em O(–2, –4) e raio 3.
d) centro em O(1, 0) e raio 4.

Answer 1

Seja uma circunferência de raio "r" com origem no ponto "O" dado por

$O=(o_x,o_y)$

A equação que a descreve em coordenadas cartesianas x e y é

$(x-o_x)^2 + (y-o_y)^2=r^2$

Logo, apenas substituímos "r" e as componentes de "O" na equação acima para resolver os exercícios.

LETRA A

$(x-2)^2 + (y-4)^2=5^2$

LETRA B

$(x + 5)^2 + (y-3)^2=2^2$

LETRA C

$(x + 2)^2 + (y + 4)^2=3^2$

Fica o último como exercício.

Answer 2

Resposta:

a ) ( x - 2 )² + ( y - 4 )² = 25     ou     x² + y² - 4x - 8 y - 5 = 0

b ) ( x + 5)² + ( y - 3 )² = 4        ou     x² + y² + 10x - 6y + 30  = 0

c ) ( x + 2)² + ( y + 4 )² = 9       ou      x² + 4x + y² + 8 y + 11 = 0

d ) ( x - 1 )² + ( y - 0)² = 16      ou      x² + y² - 2x - 15  = 0

Explicação passo-a-passo:

Enunciado:

Determine uma equação da circunferência que tem:

a) centro em O(2, 4) e raio 5.

b) centro em O(–5, 3) e raio 2.

c) centro em O(–2, –4) e raio 3.

d) centro em O(1, 0) e raio 4.

Resolução

Nota prévia :  A equação da circunferência fica na forma

( x - a )² + ( y - b)² = r²

As coordenadas do centro são ( a ; b)

E "r ² "  é o valor do raio ao quadrado

a) centro em O(2, 4) e raio 5

( x - 2 )² + ( y - 4 )² = 5²

( x - 2 )² + ( y - 4 )² = 25  

Que pode ser apresentado de uma forma da Equação Geral da Circunferência.

1 º passo: Desembaraçar de parêntesis curvos

Nota → Repare que ( x - 2 )²    e   ( y - 4 )²  são dois produtos notáveis, do mesmo tipo, que é " O quadrado de uma diferença "

( x - 2 )² = x² + 2 * x * ( - 2 ) + ( - 2 )²      

= x² - 4 x + 4

2º passo : Encontrar a Equação geral da circunferência

Aplique-se isto à busca da Equação Geral da Circunferência.

( x - 2 )² + ( y - 4 )² = 25

x² - 4 x + 4  + y² + 2 * y * ( - 4 ) +  ( - 4 )² = 25

x² - 4 x + 4  + y² - 8 * y +  16  - 25 = 0

x² + y²  - 4x - 8 y +  16  + 4 - 25 = 0

x² + y² - 4x - 8 y - 5 = 0

b) centro em O( –5 , 3 ) e raio 2

( x - a )² + ( y - b)² = r²

1 º passo: Desembaraçar de parêntesis curvos

( x - ( - 5 ) )² + ( y - 3 )² = 2²

( x + 5)² + ( y - 3 )² = 4

2º passo Encontrar a Equação Geral da circunferência

x² + 2*x*5 + 5² + y² + 2 * y  ( - 3 ) + ( - 3 )² = 4

x² + 10*x + 25 + y² -6 y + 9 = 4

x² + y² + 10x - 6y + 9  + 25 - 4  = 0

x² + y² + 10x - 6y + 30  = 0

c) centro em O(–2, –4) e raio 3.

( x - a )² + ( y - b)² = r²

1 º passo: Desembaraçar de parêntesis curvos

( x - ( - 2 ) )² + ( y - ( - 4 ))² = 3²

( x + 2)² + ( y + 4 )² = 9

2º passo Encontrar a Equação Geral da circunferência

x² + 2 * x * 2 + 2² + y² + 2 * y * 4 + 4² = 9

x² + 4x + 4 + y² + 8 y + 16 - 9 = 0

x² + 4x + y² + 8 y + 16 + 4 - 9 = 0

x² + 4x + y² + 8 y + 11 = 0

d) centro em O(1, 0) e raio 4.

( x - a )² + ( y - b)² = r²

1 º passo: Desembaraçar de parêntesis curvos

( x - 1 )² + ( y - 0)² = 4²

( x - 1 )² + ( y - 0)² = 16

2º passo : Encontrar a Equação Geral da circunferência

x² + 2 * x * ( - 1 ) + ( - 1 )² + y²= 16

x² + y² - 2x  + 1 - 16  = 0

x² + y² - 2x - 15  = 0

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Sinais: ( * ) multiplicar    ( r ) raio

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Quaisquer dúvidas envie mensagem no comentário desta tarefa.

Ao responder às tarefas eu coloco os passos a dar, explicando como se faz.

Se quer só a sequência dos cálculos , ela aqui está.

Se quer perceber e saber como se faz, tem aqui a maneira de o fazer.