Question

Sejam a,b e c inteiros não nulos tais que o produto (√6x−4+5)(√bx+c+a) pode ser escrito da forma ux+v, onde u e v são números. Encontre o valor de u−v.

Answer 1

O resultado da diferença u - v, após fazermos todas as manipulações algébricas possíveis, será de (c + a)√5.

Temos o seguinte produto:

$(\sqrt{6}x - 4 + 5)(\sqrt{b} x + c + a)\\\\(\sqrt{6} x + 1)(\sqrt{b} + c + a)$

Realizando essa multiplicação podemos obter o seguinte resultado:

$(\sqrt{6} )*(\sqrt{b} )x^2 + (\sqrt{6} )cx + (\sqrt{6} )ax + \sqrt{b} + c + a$

Reagrupando os termos, teremos:

$(\sqrt{6b})x^2 + (c + a)(\sqrt{6} )x + c + a$

Queremos que ele assuma o formato

$ux + v$

, portanto vamos igualar as duas expressões:

$(\sqrt{6b})x^2 + (c + a)(\sqrt{6} )x + c + a = ux + v$

Devemos igualar membro a membro as expressões:

• $(\sqrt{6b} ) = 0;$

• $(c + a)\sqrt{6} = u;$

• $(c + a) = v.$

Deste modo, a constante b deve ser nula, caso contrário a expressão não será válida.

Precisamos calcular, por fim, a expressão u - v. Substituindo os termos que encontrarmos anteriormente, vamos ficar com:

$u - v = (c + a)\sqrt{6} - (c + a) = (c + a)\sqrt{(6 - 1)} = (c + a)\sqrt{5}$

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