Question

Por favor me ajudem é urgente!

Answer 1

$I=\int_{-1}^{2}{x\,(1+x^{3})\,dx}$


Desenvolvendo o produto, aplicando a propriedade distributiva da multiplicação, temos

$I=\int_{-1}^{2}{(x\cdot 1+x\cdot x^{3})\,dx}\\ \\ \\ I=\int_{-1}^{2}{(x+x^{4})\,dx}$


A integral da soma é a soma das integrais:

$I=\int_{-1}^{2}{x\,dx}+\int_{-1}^{2}{x^{4}\,dx}$


Aplicando a regra da integral da potência:

$\int_{a}^{b}{x^{n}dx}\\ \\ \\ =\left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1} \right ]_{a}^{b}\\ \\ \\ =\dfrac{b^{n+1}}{n+1}-\dfrac{a^{n+1}}{n+1}\;\;\;\;(n \neq -1)$


Então, temos

$I=\left[\dfrac{x^{1+1}}{1+1} \right ]_{-1}^{2}+\left[\dfrac{x^{4+1}}{4+1} \right ]_{-1}^{2}\\ \\ \\ I=\left[\dfrac{x^{2}}{2} \right ]_{-1}^{2}+\left[\dfrac{x^{5}}{5} \right ]_{-1}^{2}\\ \\ \\ I=\left[\dfrac{2^{2}}{2}-\dfrac{(-1)^{2}}{2} \right ]+\left[\dfrac{2^{5}}{5}-\dfrac{(-1)^{5}}{5} \right ]\\ \\ \\ I=\left[\dfrac{4}{2}-\dfrac{1}{2} \right ]+\left[\dfrac{32}{5}-\dfrac{(-1)}{5} \right ]\\ \\ \\ I=\dfrac{3}{2}+\dfrac{33}{5}\\ \\ \\ I=\dfrac{15}{10}+\dfrac{66}{10}\\ \\ \\ I=\dfrac{81}{10}\\ \\ \\ \\ \Rightarrow\;\;\boxed{\begin{array}{c} \int_{-1}^{2}{x\,(1+x^{3})\,dx}=\dfrac{81}{10} \end{array}}$