Question

Considere o polinômio de terceiro grau p(x) que tem um ponto de máximo local em x=−2 e um ponto de mínimo local em x=1. Sabendo que p(−2)=8 e p(1)=6, podemos afirmar que:
Escolha uma opção:
a. p(−1)=689.
b. p(−1)=−20227.
c. p(−1)=0.
d. p(−1)=20227.
e. p(−1)=20027.

Answer 1

O valor do polinômio quando ele possui x = -1 será de p(-1) = 202/27.

Se o polinômio é do terceiro grau, então ele possui o seguinte formato:

$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$

, sendo a, b, c e d números reais.

E a primeira derivada dessa função polinomial é:

$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$

Os pontos de máximo e mínimo são tais que neles a derivada desse polinômio é sempre nula. Logo, para o ponto máximo local x = -2 teremos:

$f'(-2) = 0\\\\3a*(-2)^2 + 2b*(-2) + c = 0\\\\12a - 4b + c = 0$

E no ponto mínimo local x = 1:

$f'(1) = 0\\\\3a*1^2 + 2b*1 + c = 0\\\\3a + 2b + c = 0$

Agora, vamos pegar o ponto p(-2) = 8 fornecido no enunciado:

$f(-2) = 8\\\\a*(-2)^3 + b*(-2)^2 + c*(-2) + d = 8\\\\-8a + 4b - 2c + d = 8$

E o ponto p(1) = 6:

$f(1) = 6\\\\a*1^3 + b*1^2 + c*1 + d = 6\\\\a + b + c + d = 6$

Desta maneira temos as seguintes equações:

$12a - 4b + c = 0\\3a + 2b + c = 0\\-8a + 4b - 2c + d = 8\\a + b + c + d = 6$

Aplicando o método de Gauss-Jordan, por exemplo, chegamos na seguinte solução numérica para esse sistema de equações:

$a = 4/27\\\\b = 2/9\\\\c = -8/9\\\\d = 176/27$

Logo, o nosso polinômio é:

$f(x) = \frac{4}{27} x^3 + \frac{2}{9} x^2 - \frac{8}{9} x + \frac{176}{27}$

Por fim, fazendo x = -1 vamos ter:

$f(-1) = \frac{4}{27} (-1)^3 + \frac{2}{9} (-1)^2 - \frac{8}{9} *(-1) + \frac{176}{27}\\\\f(-1) = -\frac{4}{27} + \frac{2}{9} + \frac{8}{9} + \frac{176}{27} = \frac{-4 + 2*3 + 8*3 + 176}{27} = \frac{202}{27}$

Acredito que houve um erro de digitação na questão, então não sei dizer se a alternativa correta é a letra d) ou a letra e) pois estão iguais.

Você pode aprender mais sobre Polinômios aqui: https://brainly.com.br/tarefa/215029