Question

Podem me enviar a resolução da questão de concurso do IFRJ?

Answer 1

Como o início das medições foi em $1\,995,$ então vamos fazer o seguinte:

Supondo

$K_{0}=$  tempo gasto pelas as professoras para irem de casa ao trabalho no ano de $1\,995;$

$t=$  quantidade de anos passados após o ano inicial $(1\,995).$ Exemplo:

para o ano de $1\,995,$ temos $t=0;$

para o ano de $1\,996,$ temos $t=1;$

e assim por diante.


$K(t)=$   tempo gasto pelas as professoras para irem de casa ao trabalho $t$ anos após o ano inicial de observação $(1\,995).$


Se a cada ano, o tempo gasto aumentava em $10\%,$ então

no ano de $1\,995,$ o tempo gasto era $K_{0};$

no ano de $1\,996\text{ (}t=1),$ o tempo gasto foi

$K(1)=K_{0}+10\%\,K_{0}\\ \\ K(1)=K_{0}+0,10\,K_{0}\\ \\ K(1)=1,10\,K_{0}$


no ano de $1\,997\text{ (}t=2),$ o tempo gasto foi


$K(2)=K_{1}+10\%\,K_{1}\\ \\ K(1)=K_{1}+0,10\,K_{1}\\ \\ K(1)=1,10\,K_{1}\\ \\ K(1)=1,10\cdot (1,10\,K_{0})\\ \\ K(1)=1,10^{2}\,K_{0}$


Seguindo esse padrão, após se passarem $t$ anos, teremos

$K(t)=1,10^{t}\cdot \,K_{0}\;\;\;\;(t\geq 0)$



Queremos encontrar em qual ano o tempo gasto será o dobro do que era gasto em $1\,995,$ ou seja

encontrar o valor de $t,$ para o qual temos

$K(t)=2\cdot K_{0}$


Então, vamos resolver:

$K(t)=2\cdot K_{0}\\ \\ 1,10^{t}\cdot \,K_{0}=2\cdot K_{0}$


Dividindo os dois lados por $K_{0},$ temos

$1,10^{t}=2$


Aplicando o logaritmo de base $10$ aos dois lados, temos

$\mathrm{\ell og\,}(1,10^{t})=\mathrm{\ell og\,}2\\ \\ t\,\mathrm{\ell og\,}(1,10)=\mathrm{\ell og\,}2\\ \\ t\,\mathrm{\ell og\,}(\frac{11}{10})=\mathrm{\ell og\,}2\\ \\ t\,\left(\mathrm{\ell og\,}11-\mathrm{\ell og\,}10 \right )=\mathrm{\ell og\,}2\\ \\ t\,\left(\mathrm{\ell og\,}11-1 \right )=\mathrm{\ell og\,}2\\ \\ t=\dfrac{\mathrm{\ell og\,}2}{\mathrm{\ell og\,}11-1}$


Substituindo os valores dados, temos

$t=\dfrac{0,30}{1,04-1}\\ \\ \\ t=\dfrac{0,30}{0,04}\\ \\ \\ t=7,5\text{ anos}$


Logo, após $7$ anos e meio, o tempo gasto será o dobro. Isto ocorrerá por volta do ano de

$=1\,995+t\\ \\ =1\,995+7,5\\ \\ =2\,002,5\\ \\ \cong 2\,003.$


Resposta: alternativa $\text{(D) }2\,003.$