Question

Aplicações de integral *

1) Um balde com 20 kg contém 60 kg de areia e é pendurado no extremo de uma corrente com 100 m e com 10 kg que está dependurada à beira de um poço profundo. Encontre o trabalho realizado ao levantar o balde até a beira do poço se a areia está vazando do balde a uma taxa constante e se no momento em que o balde chega à beira do poço, toda a areia vazou dele.​​​

Answer 1

O trabalho é definido como a integral da força em relação à distância percorrida.

$\displaystyle{W = \int F(x) dx}$

O trabalho necessário para elevar um objeto contra a gravidade é positivo.

A força necessária para elevar um objeto deve ter módulo igual à sua força peso.

A força peso do nosso sistema varia conforme o balde é elevado e com isso precisamos achar uma expressão para a força aplicada para cada metro de corrente puxado.

Vamos utilizar a seguinte convenção: x representa quantos metros de corrente foi puxado. Sendo assim quando x = 0 m significa que o balde está no fundo do poço. Quando x = 100 m significa que o balde está no ponto mais alto possível.

Precisamos achar a função $F(x)$ para a força aplicada para cada metro de corrente puxada.

Sabemos que a força peso depende do peso do balde, do peso da corrente que ainda não foi puxada e o peso da areia dentro do balde:

$\displaystyle{F(x) = P_{balde}(x) +P_{corrente}(x)+P_{areia}(x)$

O peso do balde não muda e não depende de x. Ele vale $P_{balde}(x) = 9.8 \cdot 20 \text{ N}$ sendo $g = 9.8 \text{ ms}^{-2}$.

O peso da corrente é o peso da corrente não puxada. A corrente tem densidade linear de  $\lambda = 10/100=0.1 \text{ kg.m}^{-1}$. para cada x metros de corrente puxada temos 100 - x metro pendurados.

Com isso o peso da corrente em função de x é

$\displaystyle{P_{corrente}(x) = g\cdot \lambda \cdot (100-x) = 9.8\cdot 0.1\cdot }(100-x)$

O peso da areia também varia com base na altura. Vamos supor que o balde foi elevado numa taxa constante de x metros por segundo. Isso implica que a cada x metros a areia vaza uma quantidade m kg de massa.

Temos que:

$\displaystyle{P_{areia}(x)=9.8M(x)}$

$\displaystyle{\frac{dM}{dx}=-\alpha}$  sendo α a taxa de esvaziamento em relação a altura elevada em kg/m. Com isso:

$\displaystyle{dM=-\alpha dx}$

$\displaystyle{\int _M ^0 dM=\int_0^x-\alpha dx'}$

$M(x)=-\alpha x + C$

Para achar o valor de α e de C usamos o fato de que $M(0) = 60\text{ kg}$ e que $M(100) = 0\text{ kg}$ :

$M(0)= C = 60$

$M(100) = -100\alpha + 60 = 0$

$\alpha = 0.6$

Com isso temos que:

$\displaystyle{P_{areia}(x)=9.8M(x)=9.8(-0.6x+60)}$

Por fim, a expressão para a força aplicada em função da quantidade elevada é:

$\displaystyle{F(x) = P_{balde}(x) +P_{corrente}(x)+P_{areia}(x)$

$\displaystyle{F(x) = 9.8 \cdot 20 + 9.8\cdot 0.1\cdot }(100-x)+9.8(-0.6x+60)}$

$\displaystyle{F(x) = 9.8( 20 +10-0.1x-0.6x+60)}$

$\displaystyle{F(x) = 9.8(-0.7x+90)}$

Finalmente podemos encontrar o trabalho realizado:

$\displaystyle{W = \int F(x) dx}$

$\displaystyle{W = \int_0^{100} 9.8(-0.7x+90)dx}$

$\displaystyle{W = 9.8\left[-0.35x^2+90x\right]_0^{100}}$

$\displaystyle{W = 9.8\left[-0.35\cdot100^2+90\cdot100\right]}$

$\displaystyle{W = 9.8\left[-3500+9000\right]}$

$\displaystyle{W = 9.8\left[5500]}$

$\displaystyle{\boxed{W = 53900\text{ J}}}$

O trabalho realizado foi de 53900 Joules.