Question

um certo material radioativo perde diariamente 2% de sua massa. se t e o tempo necessario para que sua massa fique reduzida a metade (meia vida ) determine t . use log 2= 0,301 e log 7= 0,845

Answer 1

Vamos tomar como referência um dia inicial onde a massa do material radioativo era $M_{0}.$

Se a cada dia o material perde $2\%$ de massa, então a cada dia a massa é $98\%$ da que era no dia anterior.


Sendo $x$ o número de dias passados após o dia inicial, então temos que


$\bullet\;\;$ No dia inicial $(x=0),$ a massa era $M_{0}.$


$\bullet\;\;$ No primeiro dia após o início da observação $(x=1),$ a massa é $98\%$ da que era no dia anterior:

$M(1)=M_{0}\cdot 0,98$


$\bullet\;\;$ No segundo dia $(x=2),$ a massa é $98\%$ da que era no primeiro dia:

$M(2)=M(1)\cdot 0,98\\ \\ M(2)=(M_{0}\cdot 0,98)\cdot 0,98\\ \\ M(2)=M_{0}\cdot (0,98)^{2}$

$\vdots$

$\bullet\;\;$ Observando o padrão acima, percebemos que, após passarem $x$ dias, a massa do material radioativo será

$M(x)=M_{0}\cdot (0,98)^{x}$


$\bullet\;\;$ Queremos encontrar a quantidade de dias $t,$ para que a massa nesse dia seja metade da massa inicial, ou seja

$M(t)=\frac{1}{2}\cdot M_{0}\\ \\ M_{0}\cdot (0,98)^{t}=\frac{1}{2}\cdot M_{0}$


Dividindo os dois lados por $M_{0},$

$(0,98)^{t}=\frac{1}{2}\\ \\ (\frac{98}{100})^{t}=2^{-1}$


Aplicando logaritmo de base $10$ aos dois lados, temos

$\mathrm{\ell og}\left[(\frac{98}{100})^{t} \right ]=\mathrm{\ell og\,}(2^{-1})\\ \\ t\,\mathrm{\ell og}(\frac{98}{100})=-1\cdot \mathrm{\ell og\,}2\\ \\ t\,(\mathrm{\ell og\,}98-\mathrm{\ell og\,}100)=-\mathrm{\ell og\,}2\\ \\ t\,\left[\mathrm{\ell og\,}(2\cdot 7^{2})-\mathrm{\ell og\,}(10^{2})\right ]=-\mathrm{\ell og\,}2\\ \\ t\,\left[\mathrm{\ell og\,}2+\mathrm{\ell og\,}(7^{2})-\mathrm{\ell og\,}(10^{2})\right ]=-\mathrm{\ell og\,}2\\ \\ t\,\left[\mathrm{\ell og\,}2+2\,\mathrm{\ell og\,}7-2\,\mathrm{\ell og\,}10 \right ]=-\mathrm{\ell og\,}2\\ \\ t\,\left[\mathrm{\ell og\,}2+2\,\mathrm{\ell og\,}7-2\cdot 1 \right ]=-\mathrm{\ell og\,}2\\ \\ t=\dfrac{-\mathrm{\ell og\,}2}{\mathrm{\ell og\,}2+2\,\mathrm{\ell og\,}7-2}$


Substituindo os valores dados, temos

$t=\dfrac{-0,301}{0,301+2\cdot 0,845-2}\\ \\ \\ t=\dfrac{-0,301}{0,301+1,69-2}\\ \\ \\ t=\dfrac{-0,301}{-0,009}\\ \\ \\ t=\dfrac{301}{9}\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{c}t\cong 33,4\text{ dias} \end{array}}$