4 - Um exemplo de situação em que a ordem é relevante é a composição de uma senha. Suponhamos que Fernanda precisa criar uma senha de seis caracteres alfanuméricos para seu e-mail e que ela decida usar três letras e três algarismos, nessa ordem. O pai de Fernanda se chama Marcelo e nasceu em 1963. Para facilitar, ela decide usar as letras do nome do pai e os algarismos do ano de nascimento do pai. Porém ela decide não repetir letra nem algarismo. O sistema não distingue letras maiúsculas de minúsculas. Mas é claro que a ordem importa, pois MAR 196 é uma senha diferente de RAM 196. Esta situação a Análise Combinatória chama de arranjo simples: não há repetição, mas a ordem importa. A expressão é a seguinte: Fernanda deve escolher, sem repetição: três letras de um conjunto de sete letras (MARCELO) e três algarismos de um conjunto de quatro algarismos (1963). Quantas senhas distintas ela poderá formar? a) 214. b) 540. c) 840. d) 5040

Respostas

respondido por: blackmagee

Resposta:

d)5040

Explicação passo-a-passo:

Arranjo Simples: $A n,k=\frac{n!}{(n-k)!}$

n = número de elementos

k = escolhas

! = indica que é um número fatorial, por exemplo: $4!=4.3.2.1! = 24$

Primeiro eu fiz a conta das letras e depois dos algarismos.

ela vai escolher 3 letras de 7 letras, e 3 algarismos de 4 algarismos .

Letras

$A _{7,3} = \frac{7!}{(7-3)!} = \frac{7.6.5.4!}{4!} = 210$

Quando o número fatorial de cima fica igual ao de baixo eu prefiro "cortar" os dois pra facilitar a conta e não precisar fazer a divisão, aqui por exemplo eu cortei o " $4!$ "

Algarismo

$A_{4,3}=\frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4.3.2.1!}{1!} =24$

o 4 é aqui o número de elementos, e o 3 são os números que ela vai escolher dentre esses 4.

Conta final:

Deve se lembrar que uma conta é das 3 letras distintas entre as 7 que ela pode escolher sem repetir nenhuma, e a segunda equação é sobre os 3 algarismos entre o 4 que ela pode escolher sem repetir. Então eu multipliquei ambos resultados para descobrir quantos tipos de senha poderiam ser formadas com as sete letras(MARCELO) e quatro algarismos(1963):

$A _{7,3} = \frac{7!}{(7-3)!} = \frac{7.6.5.4!}{4!} = 210$

$A_{4,3}=\frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4.3.2.1!}{1!} =24$

$210.24=5040$