Question

Sobre Trigonometria!!!

Answer 1

Resolver a equação

$\mathrm{sen\,}2x=\cos x$

no intervalo $[0;\,2\pi].$
 

$\mathrm{sen\,}2x=\cos x\\ \\ 2\,\mathrm{sen\,}x\cos x=\cos x\\ \\ 2\,\mathrm{sen\,}x\cos x-\cos x=0\\ \\ \cos x\cdot (2\,\mathrm{sen\,}x-1)=0\\ \\ \cos x=0\;\;\text{ ou }\;\;2\,\mathrm{sen\,}x-1=0$


Resolvendo separadamente as equações, temos

$\bullet\;\;\cos x=0\\ \\ x=\frac{\pi}{2}\;\;\text{ ou }\;\;x=\frac{3\pi}{2}\\ \\ \\ \bullet\;\;2\,\mathrm{sen\,}x-1=0\\ \\ \mathrm{sen\,}x=\frac{1}{2}\\ \\ \mathrm{sen\,}x=\mathrm{sen\,}\frac{\pi}{6}\\ \\ \begin{array}{rcl} x=\frac{\pi}{6}&\;\text{ ou }\;&x=\pi-\frac{\pi}{6}\\ \\ x=\frac{\pi}{6}&\;\text{ ou }\;&x=\frac{5\pi}{6} \end{array}$


Então, o conjunto solução é

$S=\left\{\frac{\pi}{6};\,\frac{\pi}{2};\,\frac{5\pi}{6};\,\frac{3\pi}{2}\right\}$


A soma das soluções é

$\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}+\frac{5\pi}{6}+\frac{3\pi}{2}\\ \\ =\frac{\pi+3\pi+5\pi+9\pi}{6}\\ \\ =\frac{18\pi}{6}\\ \\ =3\pi$


Resposta: alternativa $\text{c) }3\pi.$