Determine o subespaço S do espaço V , gerado pelos vetores de A, em cada caso.
(a) V = R3, A = {(−1, 1, 3),(−2, 0, 1)}.
Respostas
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
veja isto como uma matriz
−1.. 1.. 3
−2.. 0.. 1
escalonando fica:
−1. 1. 3
0. -2. -5
perceba que depois de escalonada vimos que o posto dela é 2.
Agora olha essa outra
−1. 1. 3
−2. 0. 1
x.y.z
Lembre-se os posto dessa também tem que ser 2.
agora vc vai escalonar
−1. 1. 3
0. -2. -5
x.y.z
−1. 1.3
0. -2.-5, divide essa linha por -2 para ter o pivor 1.
0.y+x.3x+z
−1. 1.3
0. 1.5/2
0.y+x.3x+z
−1. 1.3
0. 1./2
0.0.(-5y -5x)/2 +3x+z, para o posto continuar 2, temos que ter
(-5y -5x)/2 +3x+z = 0
-5y - 5x +6x + 2z = 0
x - 5y + 2z = 0
Logo concluímos que o subespaço é uma plano que passa pela origiem.
A prova que isto está correto é que se vc substituir os vetores (−1, 1, 3) e (−2, 0, 1) a equação será satisfeita.
O subespaço vetorial gerado pelos vetores do conjunto A é o plano x -5y + 2z = 0.
Subespaço vetorial
Definimos como um subespaço vetorial um conjunto que está contido em um espaço vetorial e que ainda possui todas as propriedades de um espaço vetorial. Podemos determinar um subespaço vetorial utilizando uma base de vetores, nesse caso, o subespaço será o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores da base. Usamos a nomenclatura, o espaço vetorial gerado pelos vetores do conjunto A.
Para o caso descrito na questão, temos que, o subespaço S está contido em e é formado por todas as combinações lineares dos vetores (-1, 1, 3) e (-2, 0, 1). Dessa forma, podemos afirmar que, o subespaço S é dado por:
S = t*(-1, 1, 3) + s*(-2, 0, 1) = ( -t -2s, t, 3t + s)
Onde t e s são números reais quaisquer. Observe que, essa equação corresponde as equações vetoriais de um plano, logo, o subespaço S é o plano:
x - 5y + 2z = 0
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