Question

18) Qual a solução da equação a seguir?
(x-1)! + (x-2)! = x!

A resposta da S = { 2 }, porque fui pela logica, mas gostaria de saber como é feito pela parte algébrica.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\boxed{x=2}}$

Solução:

Equação fatorial: A ideia é decompor os fatoriais ate que você encontre algo para fazer uma simplificação, de modo geral sempre tome como referência o menor fatorial que nesse caso é (x-2)! e decomponha os outros até encontrar (x-2)!, da seguinte maneira:

$(x-1)!+(x-2)!=x!\\\\\\(x-1)(x-1-1)!+(x-2)!=x(x-1)(x-2)!\\\\\\(x-1)(x-2)!+(x-2)!=x(x-1)(x-2)!$

Perceba que (x-2)! aparece em todas as parcelas, logo podemos dividir a equação toda por (x-2)!, assim:

 $\dfrac{(x-1)(x-2)!}{(x-2)!}+\dfrac{(x-2)!}{(x-2)!}=\dfrac{x(x-1)(x-2)!}{(x-2)!}\\\\\\(x-1)+1=x(x-1)$

Por fim, agora a equação fatorial se tornou uma simples equação do segundo grau, resolvendo...

$(x-1)+1=x(x-1)\\\\\\x-1+1=x^2-x\\\\\\x=x^2-x\\\\\\x^2-x-x=0\\\\\\x^2-2x=0\quad\mbox{colocando x em evidencia}\\\\\\x(x-2)=0$

Temos um produto dando 0, então temos duas possibilidades:

$x-2=0\\\\\\x=2$

ou então:

$x=0$

Porém x não pode ser 0 pois se não teríamos o fatorial de um número negativo e isso não esta definido pois o fatorial trata apenas de números naturais, logo ficamos apenas com x=2.

Para saber mais: https://brainly.com.br/tarefa/39073285