Question

Seja A uma matriz nxn.
a) O que significa dizer que λ ∈ R é um autovalor de A e x ∈ V um autovetor associado à ∈λ?

b) Sendo $A=\left[\begin{array}{ccc}1&3&-3\\0&4&0\\-3&3&1\end{array}\right]$
Encontre os autovalores e os autovetores correspondentes de A.

c) A matriz A é diagonalizável? Justifique.

Answer 1

a)  $A\cdot x=\lambda \cdot x$
Significa que si a la matriz A, le multiplicamos una matriz $x\in \mathbb F^{n\times 1}$, es lo mismo que multiplicar al vector $x$ por cierta constante $\lambda$.

b) Hallemos el polinomio característico de A y los autovalores

        $P(\lambda )=\det(\lambda I-A)=\left|\begin{matrix} \lambda -1&-3&3\\ 0&\lambda -4&0\\ 3&-3&\lambda -1 \end{matrix}\right|=(\lambda -4)[(\lambda-1)^2-9]\\ \\ P(\lambda )=(\lambda -4)(\lambda-4)(\lambda+2)\\ \\ \boxed{\lambda \in\{-2,4\}}$

c) Cálculo de los auto vectores
Asociado a $\lambda = -2$

          $\left[\begin{matrix} -3&-3&3\\ 0&-6&0\\ 3&-3&-3 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} x\\y\\z \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 0\\0\\0 \end{matrix}\right]\\ \\ \\ \left[\begin{matrix} -3&-3&3\\ 0&-6&0\\ 0&0&0 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} x\\y\\z \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 0\\0\\0 \end{matrix}\right]\\ \\ \\ -x-y+z=0\\ y=0\to z=x\Longrightarrow (x,y,z)=x(1,0,1)$

Autovector: $(1,0,1)$


Asociado a $\lambda =4$

          $\left[\begin{matrix} 3&-3&3\\ 0&0&0\\ 3&-3&3 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} x\\y\\z \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 0\\0\\0 \end{matrix}\right]\\ \\ \\ x-y+z=0\to z = y-x\Longrightarrow (x,y,z)=(x,y,y-x)\\ \\ (x,y,z)=x(1,0,-1)+y(0,1,1)$

Autovectores: $(1,0,-1)\;,\;(0,1,1)$

c) vea que los autovectores son Linealmente independientes, y por ende la matriz A, es diagonalizable.