Question

A Lei de Desintegração da massa m do rádio em função do tempo é $m = m. \times {e}^{ - kt}$ onde m. é a massa inicial, k, (k>0) é o coeficiente de proporcionalidade, t é o tempo em anos. Qual é o período T de Desintegração do rádio, isto é, o período de tempo t, durante o qual se desintegra metade da massa inicial do Rádio? (UEM 2021 NR 12).​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Ola Pedroabdalah0

• Nos é dado a lei de desintegração da massa d'uma partícula :

$~~~~~\boxed{\sf{m~=~m_{0}*e^{-kt} } }$

• NB: a questão quer saber o período do tempo T para que essa particula desintegre-se até a metade da sua massa inicial ( $\sf{m~=~\dfrac{m_{0}}{2} }$ ) . Substituindo , podemos ter :

$\iff \sf{ \dfrac{\cancel{m_{0}}}{2}~=~ \cancel{m_{0}}* e^{-kt} }$

$\iff \sf{ e^{-kt}~=~ \dfrac{1}{2} }$

• Aplicando logarítmos em ambos membros podemos ter :

$\iff \sf{ \ln(e^{-kt})~=~ \ln\Big(\dfrac{1}{2}\Big) }$

$\iff \sf{ -kt*\ln(e)~=~\ln(1) - \ln(2) }$

$\iff \sf{ -kt * 1 ~=~ 0 - \ln(2) }$

$\iff \sf{ -kt ~=~- \ln(2) }$

• Multiplique ambos membros por ( -1 ) :

$\iff \sf{ kt~=~\ln(2) }$

$\green{ \iff \boxed{\sf{ t~=~\dfrac{\ln(2)}{k} } \sf{ \longleftarrow RESPOSTA }~\checkmark } }$

ESPERO TER AJUDADO BASTANTE =)