Question

derivada de raiz de x ao quadrado mais y ao quadrado

Answer 1

$f(x,\;y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\\ \\ f(x,\;y)=(x^{2}+y^{2})^{1/2}$


$\bullet\;\;$ Derivação implícita em relação a $x,$ assumindo que $y$ é uma função de $x:$

$\dfrac{df}{dx}=\dfrac{d}{dx}\left[(x^{2}+y^{2})^{1/2} \right ]\\ \\ \\ \dfrac{df}{dx}=\dfrac{1}{2}\,(x^{2}+y^{2})^{(1/2)-1}\cdot \dfrac{d}{dx}(x^{2}+y^{2})\\ \\ \\ \dfrac{df}{dx}=\dfrac{1}{2}\,(x^{2}+y^{2})^{-1/2}\cdot\left(2x+2y\,\dfrac{dy}{dx} \right )\\ \\ \\ \dfrac{df}{dx}=\dfrac{1}{\diagup\!\!\!\! 2(x^{2}+y^{2})^{1/2}}\cdot \diagup\!\!\!\! 2\left(x+y\,\dfrac{dy}{dx} \right )\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{c}\dfrac{df}{dx}=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\cdot \left(x+y\,\dfrac{dy}{dx} \right ) \end{array}}$


$\bullet\;\;$ Derivada parcial em relação a $x,$ considerando $y$ independente de $x:$

O resultado será idêntico ao anterior, exceto pelo fato de que

$\dfrac{\partial y}{\partial x}=0$


Então,

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\cdot \left(x+y\cdot \dfrac{\partial y}{\partial x} \right )\\ \\ \\ \dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\cdot \left(x+y\cdot 0 \right )\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{rcl} \dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \end{array}}$


$\bullet\;\;$ Derivada parcial em relação a $y:$


De forma análoga, encontramos:

$\boxed{\begin{array}{rcl} \dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \end{array}}$