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Olá! Tudo bem?
Então, a república velha foi um período que durou desde 1889 quando aconteceu o golpe para se instalar a república até o início da era Vargas, em 1930. Com isso, a república velha é o período do famoso café com leite, aquele "acordo presidencial" entre Minas e São Paulo, lembra?
Então, os coronéis eram donos de terras, fazendeiros e latifundiários que tinha muitos empregados no interior dos estados e muito influência e poder na cidade. Então, lembra da política do café com leite que falei mais cedo? Os coronéis eram essenciais para a continuação dessa política. Na época, apenas homens, letrados, acima de 21 anos podiam votar, contudo a maioria da população era analfabeta. Os coronéis "ensinavam" para os seus empregados a fazerem um "X" na cédula de voto para marcar o voto para o político em questão em troca de favores e dinheiro. Essa influência dos coronéis a "ensinar a votar" era chamada de voto de cabresto. Como o voto era aberto na época, ou seja, todos sabiam em quem você havia votado, caso o funcionário do coronel tivesse votado errado ele era morto, desaparecido, perseguido entre outras coisas terríveis.
Mas respondendo a sua pergunta diretamente: Os coronéis da velha república eram fazendeiros e latifundiários que tinham enorme influência na sua cidade e eram de extrema importância para a continuação dá política do café-com-leite da velha república por meio do voto de cabresto.
Uma charge muito legal sobre isso anexada a baixo.
Espero que eu tenha lhe ajudado.