53. Tomando as raízes da equação 40x2 - 13x + 1 = 0 e somando seus inversos, obtemos a medida, em cm, do lado de uma placa quadrada de metal. O perímetro dessa placa, em cm, é
Respostas
Resposta:
A alternativa que corresponde ao perímetro dessa placa é a 4ª opção) 52.
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Dada a equação do 2º grau
\begin{gathered}\Large\qquad\begin{array}{l}\sf40\:\!x^2-13\:\!x+1=0\\\\\end{array}\end{gathered}
40x
2
−13x+1=0
, pelo enunciado sabemos que a soma do inverso de suas raízes é a igual à medida, em cm, do lado de uma placa quadrada de metal.
Sendo assim, primeiramente vamos encontrar o valor dessas raízes, x₁ e x₂. Fazendo por Bhaskara:
\begin{gathered}\\\begin{array}{l}\qquad\quad\ \ \sf x=\dfrac{-\,b\pm\sqrt{\:b^2-4ac~}}{2a}\\\\\sf\iff~~~x=\dfrac{-\,(-\,13)\pm\sqrt{\:(-\,13)^2-4\cdot40\cdot1~}}{2\cdot40}\\\\\sf\iff~~~x=\dfrac{13\pm\sqrt{\:169-160~}}{80}\\\\\sf\iff~~~x=\dfrac{13\pm\sqrt{\:9~}}{80}\\\\\sf\iff~~~x=\dfrac{~13\pm3~}{80}\\\\\iff~\begin{cases}\sf x_1=\dfrac{13+3}{80}=\dfrac{16}{80}=\dfrac{~1~}{5}\\\\\sf x_2=\dfrac{13-3}{80}=\dfrac{10}{80}=\dfrac{~1~}{8}\end{cases}\end{array}\\\\\end{gathered}
x=
2a
−b±
b
2
−4ac
⟺ x=
2⋅40
−(−13)±
(−13)
2
−4⋅40⋅1
⟺ x=
80
13±
169−160
⟺ x=
80
13±
9
⟺ x=
80
13±3
⟺
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎧
x
1
=
80
13+3
=
80
16
=
5
1
x
2
=
80
13−3
=
80
10
=
8
1
Agora vamos calcular o valor do lado da placa de metal, que é a soma do inverso das raízes. O inverso de um número é a mudança do numerador com o denominador, assim:
\begin{gathered}\\\begin{array}{l}\qquad\quad\ \ \sf l=(x_1)^{-\,1}+(x_2)^{-\,1}\\\\\sf\iff~~~l=\bigg(\dfrac{1}{5}\bigg)^{\!\!-\,1}+\bigg(\dfrac{1}{8}\bigg)^{\!\!-\,1}\\\\\sf\iff~~~l=\dfrac{~5~}{1}+\dfrac{~8~}{1}\\\\\sf\iff~~~l=5+8\\\\\quad\!\therefore\quad~~\boxed{\sf l=13~cm}\end{array}\\\\\end{gathered}
l=(x
1
)
−1
+(x
2
)
−1
⟺ l=(
5
1
)
−1
+(
8
1
)
−1
⟺ l=
1
5
+
1
8
⟺ l=5+8
∴
l=13 cm
E por fim, a questão pede o perímetro dessa placa. Para calculá-la basta fazer a soma dos lados, e como essa placa é quadrada ela possui 4 lados iguais, podemos fazer:
\begin{gathered}\\\begin{array}{l}\qquad\quad\ \ \sf P=4\:\!l\\\\\sf\iff~~~P=4\cdot13\\\\\quad\!\therefore\quad~~\boldsymbol{\boxed{\sf P=52~cm}}\end{array}\\\\\end{gathered}
P=4l
⟺ P=4⋅13
∴
P=52 cm
R: dessarte, a 4ª opção) 52 responde a questão.