Question

Considere a P.A (a1,a2,a3...) com a2+a5 e a2+a3=8. Quanto vale a15?

Answer 1

Forma de atacar essa questão: Descobrir o Valor do primeiro termo da PA (a1) e da razão  (r) para determinar uma fórmula geral desta PA.

Vamos começar com

a2 + a5 = 9

Vamos reescrever a2 usando a fórmula geral dos termos de uma PA:

an = a1 + (n-1)*r

Para a2, temos:

a2 = a1 + (2-1)*r
a2 = a1 + r

Para a5:

a5 = a1 + (5-1)*r
a5 = a1 + 4*r

Vamos agora reescrever a2 + a5:

a2 + a5 = 9 ⇔ (a1 + r) + (a1+ 4r) = 9

2a1 + 5r = 9

Vamos fazer o mesmo para a2 + a3 = 8

Como já temos a2, vamos fazer só pra a3:

a3 = a1 + (3-1)*r
a3 = a1 + 2r

a2 + a3 = 8 ⇔ (a1 +r) + (a1 + 2r)

2a1 + 3r = 8

Chegamos ao sistema:

$\left \{ {{2a1 + 5r = 9} \atop {2a1 + 3r = 8}} \right.$

Para resolve-lo, multiplicaremos a segunda equação por (-1). Ficando com o sistema:

$\left \{ {{2a1 + 5r = 9} \atop {-2a1 - 3r = - 8}} \right.$

Somando os dois, teremos:

2r = 1
r = 1/2

Essa é nossa razão. Para encontrar o valor de a1, basta substitui-lo em qualquer uma das equações. Eu vou substituir na primeira:

2a1 + 5r = 9
2a1 + 5(1/2) = 9
2a1 + 5/2 = 9

Multiplicando toda a equação por (2):

4a1 + 5 = 18
4a1 = 18 - 5
4a1 = 13
a1 = 13/4

Podemos agora formar a fórmula geral da PA:

an = a1 + (n-1)*r

$an = \frac{13}{4} + \frac{(n-1)}{2}$

Para encontrar o valor de a15, é só fazer n=15.

$a15 = \frac{13}{4} + \frac{(15-1)}{2}$

$a15 = \frac{13}{4} + \frac{14}{2}$

Reescrevendo $\frac{14}{2}$ como $\frac{28}{4}$

$a15 = \frac{13}{4} + \frac{28}{4}$

$a15 = \frac{41}{4}$

Pronto!