Question

Seja $A = \left[\begin{array}{ccc}a_{ij}\end{array}\right] _{n x n}$ uma matriz de ordem n; defina $B = \left[\begin{array}{ccc}a_{ij}\end{array}\right] _{n x n}$ por $b_{ij} = -a_{ji}$

A única coisa que eu quero saber é como montar a forma matricial de A e B? Por exemplo de (3x3).

Answer 1

Pela relação que foi dada podemos atribuir valores a i e j e encontrar os elementos de B em função dos de A:

$b_{ij}=-a_{ji}\Rightarrow a_{ji}=-b_{ij} \\ \\ a_{11}=-b_{11}; \ a_{22}=-b_{22}; \ a_{33}=-b_{33}; \\ a_{12}=-b_{21}; \ a_{13}=-b_{31}; \ a_{21}=-b_{12}; \\ a_{23}=-b_{32}; \ a_{31}=-b_{13}; \ a_{32}=-b_{23}$

Agora podemos montar a matriz B:

$B= \left[\begin{array}{ccc}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{array}\right] \Rightarrow B= \left[\begin{array}{ccc}-a_{11}&-a_{21}&-a_{31}\\-a_{12}&-a_{22}&-a_{32}\\-a_{13}&-a_{23}&-a_{33}\end{array}\right] \\ \\ \boxed{B= -\left[\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{21}&a_{31}\\a_{12}&a_{22}&a_{32}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{array}\right]}$

E se tu conhece a definição de matriz transposta tu pode ver o seguinte:

$\boxed{\boxed{B=-A^t}}$