Question

Calcule o valor das seguintes integrais:

∫₀¹ (x² - √x) dx

me ajudem por favor

Answer 1

A integral da soma/subtração de duas funções é igual a soma/subtração das integrais de cada função, assim temos:

$\sf \displaystyle \int\limits^{1}_{0}\left(x^2~-~\sqrt{x\,}\,\right)dx~=~\displaystyle \int\limits^{1}_{0}x^2~dx~-~\displaystyle \int\limits^{1}_{0}\sqrt{x\,}\,dx$

Podemos reescrever o radical na segunda integral como uma potência de expoente fracionário:

$\sf \displaystyle \int\limits^{1}_{0}\left(x^2~-~\sqrt{x\,}\,\right)dx~=~\displaystyle \int\limits^{1}_{0}x^2~dx~-~\displaystyle \int\limits^{1}_{0}x^{\frac{1}{2}}\,dx$

Agora, aplicando a regra da potência das integrais, ficamos com:

$\sf \displaystyle \int\limits^{1}_{0}\left(x^2~-~\sqrt{x\,}\,\right)dx~=~\left(\dfrac{x^{2+1}}{2+1}\right|^{1}_{0}~-~\left(\dfrac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}\right|^{1}_{0}\\\\\\\displaystyle \int\limits^{1}_{0}\left(x^2~-~\sqrt{x\,}\,\right)dx~=~\left(\dfrac{x^{3}}{3}\right|^{1}_{0}~-~\left(\dfrac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right|^{1}_{0}$

$\sf \displaystyle \int\limits^{1}_{0}\left(x^2~-~\sqrt{x\,}\,\right)dx~=~\left(\dfrac{x^{3}}{3}\right|^{1}_{0}~-~\left(\dfrac{2\sqrt[2]{x^3}}{3}\right|^{1}_{0}\\\\\\\displaystyle \int\limits^{1}_{0}\left(x^2~-~\sqrt{x\,}\,\right)dx~=~\left(\dfrac{1^3}{3}-\dfrac{0^3}{3}\right)~-~\left(\dfrac{2\sqrt[2]{1^3}}{3}-\dfrac{2\sqrt[2]{0^3}}{3}\right)$

$\sf \displaystyle \int\limits^{1}_{0}\left(x^2~-~\sqrt{x\,}\,\right)dx~=~\left(\dfrac{1}{3}-0\right)~-~\left(\dfrac{2}{3}-0\right)\\\\\\\displaystyle \int\limits^{1}_{0}\left(x^2~-~\sqrt{x\,}\,\right)dx~=~\dfrac{1}{3}~-~\dfrac{2}{3}\\\\\\\boxed{\sf \displaystyle \int\limits^{1}_{0}\left(x^2~-~\sqrt{x\,}\,\right)dx~=\,-\dfrac{1}{3}}$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$