Question

Peço a ajuda em demonstrar que o valor deste limite é verdadeiro.$\lim_{x \to+ \infty} 2[ln(x)+ln(sen \frac{1}{x} )]=0$

Answer 1

         $L=\lim\limits_{x\to+\infty}2[\ln x+\ln (\sin \frac{1}{x})]\\ \\ \\ L=\lim\limits_{x\to+\infty}2[\ln (x\sin \frac{1}{x})]\\ \\ \text{Colocando: }y=\dfrac{1}{x}\text{ ent\~ao: }y\to 0^+\\ \\ L=\lim\limits_{y\to0^+}2\left[\ln \left(\dfrac{\sin y}{y}\right)\right]\\ \\ \\ L=2\ln\left(\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{\sin y}{y}\right)\\ \\ \\ L=2\ln 1\\ \\ \boxed{L=0}$