Question

sabendo que sec x = 5/2 e 3pi/2<x <2p, obtenha as demais razões trigonométricas de x: 

Answer 1

Vamos lá.

Tem-se: sabendo-se que sec(x) = 5/2 e que o arco "x" está no seguinte intervalo: 3π/2 < x < 2π , são pedidas as demais funções trigonométricas.

Antes note que π = 180º. Assim:

3π/2 = 3*180º/2 = 540º/2 = 270º;
e
2π = 2*180º = 360º.

Dessa forma, o nosso arco "x" está no intervalo: 270º < x < 360º.
Ou seja, o arco "x" é um arco que pertence ao 4º quadrante.

Bem, sabendo disso, então vamos calcular as demais funções trigonométricas do 4º quadrante, valendo observar, a propósito, que: no 4º quadrante o seno é negativo e o cosseno é positivo.
Agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.


i) Como já sabemos que sec(x) = 5/2, e considerando que sec(x) = 1/cos(x), então teremos que:

5/2 = 1/cos(x) ----- multiplicando em cruz, teremos:
5*cos(x) = 1*2
5cos(x) = 2
cos(x) = 2/5 <---- Este é o valor do cos(x).


ii) Já tendo o valor do cos(x) = 2/5, vamos encontrar o valor de sen(x) pela relação fundamental da trigonometria, segundo a qual tem-se:

sen²(x) + cos²(x) = 1 ----- substituindo cos(x) por "2/5", teremos:;
sen²(x) + (2/5)² = 1
sen²(x) + 4/25 = 1
sen²(x) = 1 - 4/25 ----- mmc, no 2º membro = 25. Assim, utilizando-o:
sen²(x) = (25*1 - 1*4)/25
sen²(x) = (25 - 4)/25
sen²(x) = 21/25
sen(x) = +- √(21/25) ----- note que isto é a mesma coisa que:
sen(x) = +- √(21)/√(25) ----- como √(25) = 5, ficaremos com:
sen(x) = +- √(21) / 5 ----- Mas, como no 4º quadrante o seno é negativo, então teremos que:

sen(x) = - √(21) / 5  <---- Este é o valor de sen(x) da sua questão.


iii) Agora calcularemos o valor de tg(x), que é dado por:

tg(x) = sen(x) / cos(x) ----- fazendo as devidas substituições, teremos:

tg(x) = [-√(21)/5] / (2/5) ---- veja: divisão de frações. Logo:
tg(x) = -√(21)/5 * (5/2) ----- efetuando os produtos indicados, ficaremos:
tg(x) = -√(21) * 5 / 5*2  --- ou, o que é a mesma coisa:
tg(x) = - 5√(21) / 10 ---- dividindo-se numerador e denominador por "5", ficaremos com:

tg(x) = -√(21) / 2 <---- Este é o valor de tg(x) da sua questão.


iv) Agora calcularemos o valor da cotangente, que tanto poderá ser dada por cos(x)/sen(x), como também por "1/tg(x)". Como parece-nos estar mais fácil utilizarmos a relação "1/tg(x)", então teremos que:

cotg(x) = 1/tg(x) ----- substituindo tg(x) por seu valor, teremos:
cotg(x) = 1/[-√(21)/2] ----- note que isto é a mesma coisa que:
cotg(x) = -2/√(21) ---- para racionalizar, multiplicaremos numerador e denominador por √(21). Assim:

cotg(x) = -2*√(21) / √(21)*√(21)
cotg(x) = -2√(21)/21 <----- Este é o valor de cotg(x) da sua questão.


v) Finalmente vamos para o valor da cossecante, que é dada por;

csc(x) = 1/sen(x) ------- substituindo-se sen(x) por seu valor, teremos:

csc(x) = 1/[-√(21)/5] ----- note que isto é a mesma coisa que:
csc(x) = -5/√(21) ---- para racionalizar, multiplicaremos numerador e denominador por √(21). Assim:

csc(x) = -5*√(21) / √(21)*√(21)
csc(x) = -5√(21)/21 <---- Este é o valor de csc(x) da sua questão.


Bem, como você viu aí em cima, encontramos todas as demais funções trigonométricas do 4º quadrante, a partir da primeira função dada, que foi: sec(x) = 5/2.


Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.