Question

Considerando um triângulo retângulo de catetos be c, e área A= 20 cm³. Subtraindo-se três centimentros de cada um dos seus catetos obtemos outro triângulo retângulo, agora de A´ , equivalente a um quarto da área inicial. Sobre a hipotenusa do segundo triângulo é correto afirmar que seja um número realx, tal que

Answer 1

Se a área é 20 cm³

Calcular a área de um triangulo:

$A = \dfrac{ab}{2}$

onde:
a =  altura
b  =  base

===

ab = A * 2
ab = 20 * 2
ab = 40 

temos assim que a * b = 40 cm
8 * 5 = 40

base = 8
altura  = 5

base = 8 - 5 = 3
altura  = 5 - 3 = 2

aplicando a formula da área:

$A = \dfrac{ab}{2} \\ \\ A = \dfrac{5 * 2}{2} \\ \\ A = \dfrac{10}{2} \\ \\ A = 5 \cm^3$

===
Temos a área do novo triângulo = 5 cm³

==

Prova:

$A = \dfrac{1}{4} * 20 \\ \\ \\ A = \dfrac{20}{4} \\ \\ \\ A = 5$

Answer 2

Vamos lá.

Izadora, não deverá ser a área de um triângulo retângulo igual a 20 cm³, mas igual a 20 cm², pois área nenhuma poderá ser expressa em medida cúbica, mas em medida quadrada.

Então, se se o triângulo tem catetos iguais a "b" e "c" e sua área (A) é igual a 20 cm², então veja que, num triângulo retângulo a área é calculada da seguinte forma: (cateto vezes cateto)/2 .

Bem, agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.


i) Como os dois catetos são "b" e "c", então teremos que:

A = b*c/2 ----- como a área é igual a 20 cm², então substituiremos "A" por "20", ficando:

20 = b*c/2 ------ multiplicando em cruz, teremos:
2*20 = b*c
40 = b*c ---- ou apenas:
40 = bc ----- invertendo-se, temos:
bc = 40
b = 40/c        . (I)


iii) Como o segundo triângulo (também retângulo) terá uma área (A) de 1/4 da área do primeiro triângulo, e esse segundo triângulo tem os catetos diminuídos em 3cm cada um, então teremos que:

A = (b-3)*(c-3)/2 ----- como a área é 1/4 da área do primeiro triângulo, então veja que 1/4 de 20 = 20/4 = 5 cm² . Assim, substituindo-se, agora, "A" por "5", teremos:

5 = (b-3)*(c-3)/2 ----- multiplicando em cruz, teremos;
2*5 = (b-3)*(c-3)
10 = (b-3)*(c-3) ----- desenvolvendo, teremos:
10 = bc - 3b - 3c + 9 ---- ou, invertendo-se:
bc - 3b - 3c + 9 = 10 ---- passando "9" para o 2º membro, temos:
bc - 3b - 3c = 10-9
bc - 3b - 3c = 1     . (II)


iii) Agora vamos na expressão (II) e, nela, substituiremos "b" por "40/c" , conforme encontramos na expressão (I).
Vamos apenas repetir a expressão (II), que é esta:

bc - 3b - 3c = 1 ----- substituindo-se "b" por "40/c", ficaremos com:

(40/c)*c - 3*(40/c) - 3c = 1 ---- desenvolvendo, teremos;
40c/c - 120/c - 3c = 1 ---- continuando o desenvolvimento, temos:
40 - 120/c - 3c = 1 ----- passando "1" para o 1º membro, teremos:
40 - 120/c - 3c - 1 = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, ficaremos com:

-120/c - 3c + 39 = 0 ----- mmc = c. Assim, utilizando-o em toda a expressão, ficaremos da seguinte forma:

1*(-120) - c*3c + c*39 = c*0
- 120 - 3c² + 39c = 0 ----- vamos ordenar, ficando:
- 3c² + 39c - 120 = 0 ---- para facilitar, vamos dividir ambos os membros por "-3", com o que ficaremos da seguinte forma:

c² - 13c + 40 = 0 ----- aplicando Bháskara, encontraremos as seguintes raízes:

c' = 5
c'' = 8

Agora veja: se formos para a expressão (I) e, nela, substituirmos "c" por "5", encontraremos "b" = 8; e se substituirmos "c" por "8", encontramos "b" = 5.
Assim, é indiferente que tomemos b = 5 e c = 8, ou b = 8 e c = 5.
Assim, vamos considerar que: b = 5 cm e c = 8 cm, como as medidas do primeiro triângulo.


iv) Agora vamos encontrar quais são as medidas dos catetos do segundo triângulo. Como os dois catetos do 2º triângulo têm menos "3 cm" cada um que os catetos do 1º triângulo, então teremos que os catetos do 2º triângulo têm a seguintes medidas:

b-3 = 5-3 = 2 cm <--- Esta é a medida do cateto "b" do 2º triângulo.
c-3 = 8-3 = 5 cm <--- Esta é a medida do cateto "c" do 2º triângulo.


v) Vamos, agora, calcular qual será a medida da hipotenusa do 2º triângulo.
Assim, aplicando Bháskara e chamando a hipotenusa de "x", teremos:

x² = b² + c² ----- substituindo "b" e "c" do 2º triângulo pelas suas medidas vistas acima, teremos:

x² = 2² + 5²
x² = 4 + 25
x² = 29
x = +- √(29) ----- como a medida da hipotenusa não pode ser negativa, então tomaremos apenas a medida positiva e igual a:

x = √(29) cm <---Esta é a medida da hipotenusa do 2º triângulo.

Bem, como você não terminou a pergunta, apenas diz: "....Sobre a hipotenusa do segundo triângulo é correto afirmar que seja um número real x, tal que", então como não sabemos quais são as opções dadas, deixamos de dizer alguma coisa sobre a hipotenusa do 2º triângulo, que é a que encontramos acima. 
Talvez seja isto: é um número irracional. Se for isso mesmo, então a resposta será a opção que estiver informando que a hipotenusa do 2º triângulo é um número irracional, pois √(29) é um número irracional.


Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.