Question

Seja G um grupo tal que para todo o X ∈ G vale X . X = e, onde é a identidade de G. Mostre que G é um grupo abeliano.

Answer 1

Asociatividad: $(X\cdot Y)\cdot (Y\cdot X)=X\cdot (Y\cdot Y)\cdot X$
Propiedad inicial: $(X\cdot Y)\cdot (Y\cdot X)=X\cdot e\cdot X$
Asociatividad: $(X\cdot Y)\cdot (Y\cdot X)=(X\cdot e)\cdot X$
Elemento identidad: $(X\cdot Y)\cdot (Y\cdot X)=X\cdot X$
Propiedad inicial: $(X\cdot Y)\cdot (Y\cdot X)=e$
Propiedad inicial: $X\cdot Y=Y\cdot X$

Por lo tanto (G, .)  es un grupo abeliano