Question

Considere as funções definidas por y = ax^2, sendo a € R. São exemplos de funções desse tipo: y = 2x^2 ; y = -x^2 ; y = -4x^2 ; y = 1 sobre 2x^2 , etc.

Com base nesses dados:
a) Caracterize tais funções quanto ao número de raízes, especificando-as;
b) Encontre o vértice das parábolas que representam tais funções;
c) Faça um esquema para representá-las graficamente.

Answer 1

a) Esse tipo de função tem o discriminante delta = 0, portanto, tem duas raízes reais e iguais.
     O  valor da raiz é zero, pois, tanto x' quanto x" ficam = 0/2a = 0

b) O vértice desse tipo de parábola é V = (0, 0) , pois xV = -b/2a e yV = -delta/4a, isto é, xV = 0/2a = 0 e yV = 0/4a = 0

c) De acordo com o item a, o ponto de intersecção com o eixo x é (0, 0) (para achar a raiz, também chamada zero da função, fizemos y = 0 - foi por isso que encontramos x' = x" = 0)
    Pelo item b, o vértice é (0, 0)
    O ponto de intersecção com o eixo y é, (0, 0) também (basta substituir x por 0, que obtemos y = 0)
    Como só temos um ponto para representar no plano cartesiano, olhamos para o valor de a. Se a > 0 (positivo), a parábola terá concavidade voltada para cima. Se a < 0 (negativo), a parábola terá concavidade voltada para baixo.
     Isto já é suficiente para fazermos um esboço, mas, se quisermos melhorar este esboço, substituímos x por um nº negativo (-2, por exemplo) e encontramos o y correspondente; substituímos x por um nº positivo (2, por exemplo), e encontramos o y correspondente. Desta forma teremos mais dois pontos e teremos uma noção da "abertura" da parábola.