Question

Encontre a derivada das funções ​

Answer 1

A questão pede a derivada de cada item, se você observar, cada um desses itens vai requerer umas das regras de derivação.

• Item a):

$f(x) = 8x {}^{11}$

Nessa função, basicamente devemos usar a regra da potência, ou seja, o que era expoente passa a ser coeficiente e subtrai-se um do expoente, ou seja, se era 11 passa a ser 10, se era 10 passa a ser 9 e assim por diante. Então:

$f'(x) = 11 \: . \: 8 \: . \: x {}^{11 - 1} \: \: \to \: \: f'(x) = 88x {}^{10}$

• item b):

$f(x) = (3x {}^{2} + x).(1 + x + x {}^{3} )$

Aqui teremos que usar a regra do produto, já que temos o produto de duas funções diferentes, essa regra é dada por:

$\boxed{(f(x).g(x))' = f'(x).g(x) + f(x).g'(x)}$

Fazendo a mesma coisa da regra, temos que:

$f'(x) = (3x {}^{2} + x)'.(1 + x + x {}^{3} ) + (3x {}^{2} + x).(1 + x + x {}^{3} )' \\ f'(x) = (2 \: . \: 3 \: . \: x {}^{2 - 1} + 1.x {}^{1 - 1} ).(1 + x + x {}^{3} ) + (3x {}^{2} + x).(0 + 1.x {}^{1 - 1} + 3.x {}^{3 - 1} ) \\ f'(x) = (6x + 1).(1 + x + x {}^{3} ) + (3x {}^{2} + x).(1 + 3x {}^{2} )$

• Item c):

$f(x) = \frac{x + 1}{x - 1}$

Agora vamos usar a regra do quociente, muito semelhante da regra do produto, dada por:

$\boxed{ \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right]' = \frac{f'(x).g(x) - f(x).g'(x)}{g {}^{2}(x) } }$

Aplicando a regra na nossa função:

$f'(x) = \frac{(x + 1) '.( x - 1) - (x + 1).(x - 1)' }{(x - 1) {}^{2} } \\ \\ f'(x) = \frac{1.(x - 1) - (x + 1).1}{(x - 1) {}^{2} } \\ \\ f'(x) = \frac{x - 1 - x - 1}{(x - 1) {}^{2} } \\ \\ f'(x) = \frac{ - 2}{(x - 1) {}^{2} }$

• Item d):

$f(x) = 2 {}^{3x {}^{2} + 6x }$

Por fim temos que aplicar uma regra de derivação de funções exponenciais, que diz:

$\boxed{f(x) = a {}^{x} \to f'(x) = a {}^{x} . \ln(a)}$

Aplicando na função, temos que:

$f'(x) = 2 {}^{3x {}^{2} + 6x} . \ln(2).(3x {}^{2} + 6x)'$

Ali eu multipliquei pela derivada do expoente pelo motivo de que temos uma função composta, ou seja, devemos aplicar a regra da cadeia:

$f'(x) = 2 {}^{3x {}^{2} + 6x } . \ln(2).(6x + 6)$

Espero ter ajudado

Answer 2

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$\boxed{\begin{array}{l}\tt a)~\sf f(x)=8x^{11}\\\rm aqui~usa-se~a~regra~\dfrac{d}{dx}(u^n)=nu^{n-1}\cdot\dfrac{du}{dx}\\\sf f'(x)=11\cdot8x^{11-1}\implies f'(x)=88x^{10}\\\tt b)~\sf f(x)=(3x^2+x)(1+x+x^3)\\\rm aqui~usa-se~a~regra~\dfrac{d}{dx}(u\cdot v)=\dfrac{du}{dx}\cdot v+u\cdot\dfrac{dv}{dx}\\\sf f'(x)=(2\cdot3x^{2-1}+1)\cdot(1+x+x^3)+(3x^2+x)\cdot(1+3x^{3-1})\\\sf f'(x)=(6x+1)(1+x+x^3)+(3x^2+x)\cdot(1+3x^2)\\\sf f'(x)=6x+6x^2+6x^4+1+x+x^3+3x^2+9x^4+x+3x^3\\\sf f'(x)=15x^4+4x^3+9x^2+8x+1\end{array}}$$\boxed{\begin{array}{l}\tt c)~\sf f(x)=\dfrac{x+1}{x-1}\\\rm aqui~usa-se~a~regra~\dfrac{d}{dx}\bigg(\dfrac{u}{v}\bigg)=\dfrac{\frac{du}{dx}\cdot v-u\cdot\frac{dv}{dx}}{v^2}\\\sf f'(x)=\dfrac{1\cdot(x-1)-(x+1)\cdot1}{(x-1)^2}\\\sf f'(x)=\dfrac{\backslash\!\!\!x-1-\backslash\!\!\!x-1}{(x-1)^2}\\\sf f'(x)=-\dfrac{2}{(x-1)^2}\end{array}}$

$\large\boxed{\begin{array}{l}\tt d)~\sf f(x)=2^{3x^2+6x}\\\rm aqui~usa-se~a~regra~\dfrac{d}{dx}(a^u)=a^u\cdot\ell na\cdot\dfrac{du}{dx}\\\sf f'(x)=2^{3x^2+6x}\cdot\ell n2\cdot(6x+6)\end{array}}$