Question

As funções logarítmicas f e g são dadas por f(x) = log3 x e g(x) = log4 x.
DETERMINEM:
A) D ( F )
B) II ( F )
C) X TAL Q G ( X ) = 4
D) F ^ -1 ( X )
E) G^ - 1 (X)
F) F ^ -1 ( 1 )

Answer 1

Vamos lá.

Pelo que está colocado, estamos entendendo que as suas questões logarítmicas estariam escritas da seguinte forma:

f(x) = log₃ (x)
e
g(x) = log₄ (x).


Dadas as duas funções logarítmicas acima, são pedidas as seguintes informações (pelo que também estou entendendo).


a) Domínio de f(x).

Veja: como f(x) = log₃ (x) e considerando que só há logaritmos de números maiores do que zero, então o domínio da função f(x) = log₃ (x) será:

x > 0 ---------- Esta é a resposta para a questão do item "a" (se a informação pedida for esta mesma).


b) O conjunto-imagem de f(x).
 
Note que f(x) poderá assumir qualquer valor. Então o conjunto-imagem da função logarítmica f(x) = log₃ (x) serão todos os Reais. ---- Esta é a resposta para a questão do item "b" (se a informação pedida for esta mesma).


c) Determinar o valor de "x", tal que g(x) = 4.

Veja: como g(x) = log₄ (x), então fazendo g(x) = 4, teremos:

4 = log₄ (x) ----- vamos apenas inverter, ficando:
log₄ (x) = 4 --------- note que, conforme a definição de logaritmos, note que isto é a mesma coisa que:

4⁴ = x
256 = x ---- ou, invertendo:
x = 256 <--- Esta é a resposta para a questão do item "c".


d) f⁻¹ (x) . Ou seja, é pedida a inversa de f(x) = log₃ (x)

Veja: para encontrar a inversa, seguiremos estes passos:

d.i) Troca-se f(x) por "y", ficando:

y = log₃ (x)

d.ii) Troca-se "y" por "x" e troca-se "x" por "y". Assim, ficaremos:

x = log₃ (y) ------ ou, invertendo-se:
log₃ (y) = x ------ veja que, conforme a definição de logaritmos, temos:

3˟ = y ---- ou, invertendo-se:

y = 3˟ ------ Esta é a função inversa de f(x) = log₃ (x). Vamos, apenas mudar "y" para a forma tradicional de inversas. Assim:

f⁻¹(x) = 3˟ ------ Esta é a resposta para a questão do item "d".


e) g⁻¹ (x) . Ou seja, é pedida a inversa de g(x) = log₄ (x).

Seguindo os mesmos passos da questão "d" anterior, teremos:

e.i) trocando g(x) por "y":

y = log₄ (x)

e.ii) trocando "y" por "x" e trocando "x" por "y'':

x = log₄ (y) ------ ou:
log₄ (y) = x ------- ou, utilizando a definição de logaritmos:
4˟ = y ---- ou:
y = 4˟ ------- Esta é a inversa de g(x) = log₄ (x).

Vamos apenas trocar "y" pela forma tradicional de inversas. Logo:

g⁻¹(x) = 4˟  ------ Esta é a resposta para a questão do item "e".


f) f⁻¹(1). Assim , utilizando-se a inversa de f(x), que é esta:

f⁻¹(x) = 3˟  , vamos substituir o "x" por "1" para encontrar f⁻¹(1). Logo:

f⁻¹(1) = 3¹
f⁻¹(1) = 3 ----- Esta é a resposta para a questão do item "f".


Eu não sei se era bem isso o que você queria. Mas tentamos.

OK?
Adjemir.