Question

Em uma P.A temos a20=5 e a32=8. Determine r e a1 dessa progressão.

Answer 1

pela fórmula geral:

a32 = a1 + 31•r
e
a20 = a1 + 19•r

isolando o a1 nos dois, temos:

a1 = a32 - 31•r
e
a1 = a20 - 19•r

com isso:

a32 - 31•r = a20 - 19•r
8 - 31 •r = 5 - 19•r
-31•r + 19•r = 5 - 8
-12•r = -3
12•r = 3
r = 3/12

r = 1/4

e pra sabermos a1, substituímos em alguma das equações acima, como:

a1 = a20 - 19•r
a1 = 5 - 19•1/4
a1 = 5 - 19/4
a1 = 20/4 - 19/4

a1 = 1/4

Answer 2

An=a1 +(n-1).r

Temos o a20=5 e o a32=8

a20= a1 + (20-1).r
5=a1+19r

a32=a1 + (32-1).r
8=a1+31r

tenho um sistema com duas incógnitas. 
Usando o método da soma 
a1+19r=5 (-1)
a1+31r=8
---------------

-a1-19r=-5 
a1+31r=8
---------------
0 + 12r=3
r=3/12
r=1/4
encontramos a Razão. Basta agora substituirmos poruma das duas equações. 
vou pegar essa a1+19r=5
a1+19(1/4)=5
a1+19/4=5
a1=5-19/4 mmc
a1= (20-19)/4 
a1= 1/4

Vamos provar 
vou encontrar o a20 e tem que dar 5
an=a1+(n-1)r
a20= 1/4 + (20-1).1/4
a20= 1/4+ 19/4
a20= (1+19)/4  denominadores iguais conservo o denominador e somo os numeradores 
a20=20/4 
a20=5 está correto! 

∴a1=1/4