Question

6. Os números x e y são distintos e satisfazem: Vejam a imagem.

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se o valor do produto "xy", sabendo-se que os números "x" e "y" são distintos e satisfazem à seguinte igualdade:

x - (1/x) = y - (1/y)

Agora veja; se os números "x" e "y" são distintos e satisfazem a igualdade acima, então "x" e "y" serão, necessariamente, diferentes de zero (pois não há divisão por zero). Assim entendendo, então veja que o mmc do primeiro membro é "x" e o mmc do 2º membro é "y". Então vamos utilizá-los, cada um no seu respectivo membro. Assim, teremos:

(x*x - 1*1)/x = (y*y - 1*1)/y
(x² - 1)/x = (y² - 1)/y ----- multiplicando-se em cruz, teremos:
y*(x²-1) = x*(y²-1) ---- efetuando os produtos indicados, temos:
yx² - y = xy² - x ----- passando o 2º membro para o 1º, teremos:
yx² - y - xy² + x = 0 ----- vamos ordenar, ficando;
yx² - xy² + x - y = 0

Agora veja: em yx² - xy² vamos colocar "xy" em evidência, ficando assim:

xy*(x - y) + x - y = 0 ---- vamos apenas colocar entre parênteses o fator "x-y" que está sozinho. Assim, ficaremos:

xy*(x-y) + (x-y)  = 0 ----- Finalmente, agora, colocaremos (x-y) em evidência, com o que ficaremos da seguinte forma:

(x-y)*(xy+1) = 0 ------ Agora note que ficamos com o produto entre dois fatores cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre, um dos fatores é nulo. Então teremos as seguintes possibilidades:

ou
x - y = 0 ------ passando-se "y" para o 2º membro, teremos:
x = y <--- Veja: conclusão descartada, pois está dito, logo no início, que "x" e "y" são números distintos. Logo, não poderão ser iguais.

ou
xy + 1 = 0 ----- passando "1" para o 2º membro, teremos:
xy = -1 <--- Esta é a resposta. Opção "c". Este é o valor do produto "xy".


Deu pra entender bem todo o desenvolvimento?

OK?
Adjemir.