Question

Se M = (4^{log⁹ ₅})^{log⁵ ₄}, o valor de M é igual a ?

Answer 1

$(4 ^{log _{5} ^{9} }) ^{log _{4} ^{5} }} =(4 ^{log _{4} ^{5} }) ^{log _{5} ^{9} } =5 ^{log _{5} ^{9} }=9$

Answer 2

Propriedade: $x^{log_{x}(a)}=a$

Demonstração:

$x^{log_{x}(a)}$

Chamando o expoente de b, temos que

$log_{x}(a)=b~~~\leftrightarrow~~~x^{b}=a$

Como b = log de 'a' na base 'x':

$\boxed{\boxed{x^{log_{x}(a)}=a}}$

Propriedade de exponenciação:

$\boxed{\boxed{(a^{x})^{y}=(a^{y})^{x}=a^{x\cdot y}}}$
_______________________________

$M=(4^{log_{5}(9)})^{log_{4}(5)}$

Podemos trocar de lugar os expoentes:

$M=(4^{log_{4}(5)})^{log_{5}(9)}$

Usando a propriedade dentro dos parenteses:

$M=5^{log_{5}(9)}$

Usando novamente a propriedade:

$\boxed{\boxed{M=9}}$
________________

Também poderíamos resolver usando a seguinte propriedade:

$\boxed{\boxed{log_{x}(a)\cdot log_{b}(x)=log_{b}(a)}}$

Demonstração:

$log_{x}(a)\cdot log_{b}(x)$

Mudando as bases dos dois logaritmos para 10:

$\dfrac{log(a)}{log(x)}\cdot\dfrac{log(x)}{log(b)}=\dfrac{log(a)}{log(b)}=log_{b}(a)$
__________

$M=(4^{log_{5}(9)})^{log_{4}(5)}\\\\M=4^{log_{5}(9)\cdot log_{4}(5)}\\\\M=4^{log{4}(9)}\\\\\boxed{\boxed{M=9}}$