Question

Uma pesquisa foi conduzida para medir a altura de homens norte-americanos. Na pesquisa, os homens foram agrupados por idade. De 20 a 29 anos, as alturas foram normalmente distribuídas, com uma média de 69,6 polegadas e com um desvio padrão de 3,0 polegadas. Um homem que participou do estudo foi selecionado aleatoriamente
a) Qual a probabilidade de a altura dele ser menor que 66 polegadas?
b) Qual a probabilidade de a altura dele estar entre 66 e 72 polegadas?
c) Encontre a probabilidade de a altura dele ser maior que 72 polegadas

Answer 1

Boa tarde!

Para responder a estas perguntas precisamos antes calcular a variável Z padronizada e fazer a consulta a uma tabela (tal como a que deixo anexa a esta resposta).

Dados:
$\mu=69,6\\ \sigma=3,0$

a)
$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\\ Z=\frac{66-69,6}{3,0}=\frac{-3,6}{3,0}=-1,20$

Agora, temos que calcular a seguinte probabilidade:
$P(X<66)=P(Z<-1,20)=0,5-P(-1,2<Z<0)\\ P(Z<-1,20)=0,5-P(0<Z<1,2)=0,5-0,38493\\ P(Z<-1,20)=0,11507=11,507\%$

P(-1,2<Z<0)=P(0<Z<1,2) pois a distribuição normal é simétrica.

b)
Calculando, agora, para o outro valor:
$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\\ Z=\frac{72-69,6}{3,0}=\frac{2,4}{3,0}\\ Z=0,80$

Nova probabilidade:
$P(66<X<72)=P(-1,20<Z<0,80)\\ P(-1,20<Z<0,80)=P(-1,20<Z<0)+P(0<Z<0,80)\\ P(-1,20<Z<0,80)=P(0<Z<1,20)+P(0<Z<0,80)\\ P(-1,20<Z<0,80)=0,38493+0,28814=0,67307=67,307\%$

c)
$P(X>72)=P(Z>0,80)=0,5-P(0<Z<0,80)\\ P(Z>0,80)=0,5-0,28814\\ P(Z>0,80)=0,21186=21,186\%$

Espero ter ajudado!