Question

Seja u = (1, 3). Determine as coordenadas de um vetor v, de norma 3, e que faz um ângulo de 30º com u.

Answer 1

Utilizaremos la siguiente matriz de rotación 
            $R_\theta=\left[\begin{matrix} \cos \theta& \sin \theta\\ -\sin \theta& \cos \theta \end{matrix}\right]$

Rotación de 30°

$R_{30}=\left[\begin{matrix} \cos 30& \sin 30\\ -\sin 30& \cos 30 \end{matrix}\right]\\ \\ \\ R_{30}=\left[\begin{matrix} \sqrt{3}/2& 1/2\\ -1/2& \sqrt{3}/2 \end{matrix}\right]$

Entonces para rotar al vector u = (1,3) le aplicamos la matriz de rotación de esta forma

        $u_{30}=\left[\begin{matrix} \sqrt{3}/2& 1/2\\ -1/2& \sqrt{3}/2 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 1\\ 3 \end{matrix}\right]\\ \\ \\ u_{30}=\left(\dfrac{\sqrt{3}+3}{2}\,,\,\dfrac{3\sqrt{3}-1}{2}\right)$

luego hallemos el vector unitario de $u_{30}=\left(\dfrac{\sqrt{3}+3}{2}\,,\,\dfrac{3\sqrt{3}-1}{2}\right)$:


        $v=\dfrac{\left(\dfrac{\sqrt{3}+3}{2}\,,\,\dfrac{3\sqrt{3}-1}{2}\right)}{\left\|\left(\dfrac{\sqrt{3}+3}{2}\,,\,\dfrac{3\sqrt{3}-1}{2}\right)\right\|}\\ \\ \\ v=\dfrac{\left(\dfrac{\sqrt{3}+3}{2}\,,\,\dfrac{3\sqrt{3}-1}{2}\right)}{2\sqrt{10}}\\ \\ \\ \boxed{v=\left(\dfrac{\sqrt{3}+3}{4\sqrt{10}}\,,\,\dfrac{3\sqrt{3}-1}{4\sqrt{10}}\right)}$


Y por último el vector de norma 3 es

       $3v=3\left(\dfrac{\sqrt{3}+3}{4\sqrt{10}}\,,\,\dfrac{3\sqrt{3}-1}{4\sqrt{10}}\right)\\ \\ \\ \boxed{\boxed{3v=\left(\dfrac{3\sqrt{3}+9}{4\sqrt{10}}\,,\,\dfrac{9\sqrt{3}-3}{4\sqrt{10}}\right)}}$